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【题目】如图①,在△ABC中,∠C=90°AC=8cmBC=6cm.动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C.过点PPDAB于点D,将△APDPD的中点旋转180°得到△A'DP.设点P的运动时间为x(s)

(1)求点A'落在边BC上时x的值.

(2)设△A'DP和△ABC重叠部分图形周长为y(cm),求yx之间的函数关系式.

(3)如图②,另有一动点Q与点P同时出发,在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C.过点QQEAB于点E,将△BQEQE的中点旋转180°得到△B'EQ.连结A′B′.当直线A'B'与△ABC的边垂直或平行时,直接写出x的值.

【答案】(1)x=(2)y=12x(0x≤)y=-x+12(x≤)(3)x=.

【解析】

(1)利用锐角三角函数的意义直接求出;

(2)(1)计算可得,分两种情况用锐角三角函数的意义求解:①当0x≤时,y=12x,当x≤时,y=12-x

(3)分四种情形画出图形分别求解即可解决问题.

解:(1)如图1

∵∠C=90°AC=8厘米,BC=6厘米,

AB=10(cm)

cosA=sinA=tanA=

AP=5x

PA′=AD=APcosA=×5x=4xCP=8-5x

cosCPA′=cosA===

x=

(2)①当0x≤,如图2

PA′=AD=APcosA=3x

A′D=AP=5x

y=4x+3x+5x=12x

②当x≤时,如图3

PE===

DF=DB×cosA=8-x

y=3x++8-x+x-6=12-x

即:当0x≤时,y=12x

x≤时,y=-x+12

(3)(1)一样有,sinB=cosB=tanB=

①当A′B′AB时,如图6

DH=PA'=AD=4xHE=B′Q=EB=3x

AB=2AD+2EB=2×4x+2×3x=10

x=

A′B′=QE-PD=4x-3x=x=

②当A′B′BC时,如图7

B′E=5xDE=10-7x

cosB==

x=

③当A′B′AC时,如图8

DA'=PA=5xDE=×5x=x

4x+x+3x=10

x=

④当QP都到达C后,如图9

A′B′ABAB=A′B′=10

此时x=s

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