【题目】如图①,在△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,BC=6cm.动点P在线段AC上以5cm/s的速度从点A运动到点C.过点P作PD⊥AB于点D,将△APD绕PD的中点旋转180°得到△A'DP.设点P的运动时间为x(s).
(1)求点A'落在边BC上时x的值.
(2)设△A'DP和△ABC重叠部分图形周长为y(cm),求y与x之间的函数关系式.
(3)如图②,另有一动点Q与点P同时出发,在线段BC上以5cm/s的速度从点B运动到点C.过点Q作QE⊥AB于点E,将△BQE绕QE的中点旋转180°得到△B'EQ.连结A′B′.当直线A'B'与△ABC的边垂直或平行时,直接写出x的值.
【答案】(1)x=;(2)y=12x(0<x≤
),y=-
x+12(
<x≤
);(3)x=
或
或
或
.
【解析】
(1)利用锐角三角函数的意义直接求出;
(2)由(1)计算可得,分两种情况用锐角三角函数的意义求解:①当0<x≤时,y=12x,当
<x≤
时,y=12-
x;
(3)分四种情形画出图形分别求解即可解决问题.
解:(1)如图1,
∵∠C=90°,AC=8厘米,BC=6厘米,
∴AB=10(cm),
∴cosA=,sinA=
,tanA=
,
设AP=5x,
∴PA′=AD=APcos∠A=×5x=4x,CP=8-5x,
∴cos∠CPA′=cos∠A==
=
,
∴x=,
(2)①当0<x≤,如图2,
∴PA′=AD=APcosA=3x,
∴A′D=AP=5x,
∴y=4x+3x+5x=12x,
②当<x≤
时,如图3
∴PE==
=
,
DF=DB×cosA=8-x,
∴y=3x++8-
x+
x-6=12-
x,
即:当0<x≤时,y=12x,
当<x≤
时,y=-
x+12;
(3)同(1)一样有,sinB=,cosB=
,tanB=
,
①当A′B′⊥AB时,如图6,
∴DH=PA'=AD=4x,HE=B′Q=EB=3x,
∵AB=2AD+2EB=2×4x+2×3x=10,
∴x=,
∴A′B′=QE-PD=4x-3x=x=.
②当A′B′⊥BC时,如图7,
∴B′E=5x,DE=10-7x,
∴cosB==
,
∴x=.
③当A′B′⊥AC时,如图8,
DA'=PA=5x,DE=×5x=
x,
∴4x+x+3x=10,
∴x=.
④当Q,P都到达C后,如图9,
∵A′B′∥AB且AB=A′B′=10,
此时x=s.
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【题目】在菱形中,
,点
是射线
上一动点,以
为边向右侧作等边
,点
的位置随点
的位置变化而变化.
(1)如图1,当点在菱形
内部或边上时,连接
,
与
的数量关系是 ,
与
的位置关系是 ;
(2)当点在菱形
外部时,(1)中的结论是否还成立?若成立,请予以证明;若不成立,
请说明理由(选择图2,图3中的一种情况予以证明或说理).
(3) 如图4,当点在线段
的延长线上时,连接
,若
,
,求四边形
的面积.
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【题目】如图,在单位长度为1的正方形网格中,一段圆弧经过网格的交点A、B、C.
(1)请完成如下操作:
①以点O为原点、竖直和水平方向为轴、网格边长为单位长,建立平面直角坐标系;
②根据图形提供的信息,标出该圆弧所在圆的圆心D,并连结AD、CD
(2)请在(1)的基础上,完成下列填空:
①写出点的坐标:C______、D______.
②⊙D的半径=______(结果保留根号)
③求出弧AC的长.
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【题目】定义:有一组对边相等而另一组对边不相等的凸四边形叫做“等对边四边形”.
(1)已知:图①、图②是5×5的正方形网格,线段AB、BC的端点均在格点上.在图①、图②中,按要求以AB、BC为边各画一个等对边四边形ABCD.
要求:四边形ABCD的顶点D在格点上,且两个四边形不全等.
(2)若每个小正方形网格的边长为一个单位,请直接写出(1)问中所画每个等对边四边形ABCD的面积______.
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【题目】如图,△ABC中,AB=AC,∠A=36,CE平分∠ACB交AB于点E.
(1)试说明点E为线段AB的黄金分割点;
(2)若AB=4,求BC的长.
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【题目】襄阳市文化底蕴深厚,旅游资源丰富,古隆中、习家池、鹿门寺三个景区是人们节假日游玩的热点景区.张老师对八(1)班学生“五·一”小长假随父母到这三个景区游玩的计划做了全面调查,凋奄分四个类别:A 游三个景区;B 游两个景区;C 游一个景区;D 不到这三个景区游玩.现根据调查结果绘制了不完整饷条形统计图和扇形统计图,请结合图中信息解答下列问题.
(1)八(1)班共有学生 人,在扇形统计图中,表示“B 类别”的扇形的圆心角的度数为 ;
(2)请将条形统计图补充完整:
(3)若张华、李刚两名同学,各自从三个景区中随机选一个作为5月1日游玩的景区,则他们同时选中古隆中的概率为 .
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【题目】如图,点A的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,4),OABC为矩形,反比例函数 的图象过AB的中点D,且和BC相交于点E,F为第一象限的点,AF=12,CF=13.
(1)求反比例函数和直线OE的函数解析式;
(2)求四边形OAFC的面积?
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【题目】如果关于x的一元二次方程x2﹣kx+2=0中,k是投掷骰子所得的数字(1,2,3,4,5,6),则该二次方程有两个不等实数根的概率为( )
A. B.
C.
D.
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