【题目】如图,已知∠MON=90°,A是∠MON内部的一点,过点A作AB⊥ON,垂足为点B,AB=3厘米,OB=4厘米,动点E,F同时从O点出发,点E以1.5厘米/秒的速度沿ON方向运动,点F以2厘米/秒的速度沿OM方向运动,EF与OA交于点C,连接AE,当点E到达点B时,点F随之停止运动.设运动时间为t秒(t>0).
(1)当t=1秒时,△EOF与△ABO是否相似?请说明理由;
(2)在运动过程中,不论t取何值时,总有EF⊥OA.为什么?
(3)连接AF,在运动过程中,是否存在某一时刻t,使得S△AEF=S四边形AEOF?若存在,请求出此时t的值;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)相似,理由见解析;(2)见解析;(3)存在,t=,理由见解析
【解析】
(1)依据两组对边成比例及夹角相等,得出△EOF∽△ABO.
(2)通过证明Rt△EOF∽Rt△ABO,依据相似三角形的对应角相等,结合等量代换,及三角形外角的性质,即可证明EF⊥OA.
(3)根据S△AEF=S梯形ABOF﹣S△FOE﹣S△ABE以及S四边形AEOF=S梯形ABOF﹣S△ABE计算出S△AEF与S四边形AEOF,根据已知条件写出关于t的方程,进而可求出t的值.
解:(1)∵t=1,
∴OE=1.5厘米,OF=2厘米,
又∵AB=3厘米,OB=4厘米,
∴
又∵∠MON=∠ABE=90°,
∴△EOF∽△ABO.
(2)在运动过程中,OE=1.5t,OF=2t.
又∵AB=3,OB=4.
∴.
又∵∠EOF=∠ABO=90°,
∴Rt△EOF∽Rt△ABO.
∴∠AOB=∠EFO.
又∵∠AOB+∠FOC=90°,
∴∠EFO+∠FOC=90°,
∴EF⊥OA.
(3)如图,连接AF,
∵OE=1.5t,OF=2t,
∴BE=4﹣1.5t
∴S△FOE=OEOF=×1.5t×2t=t2,
S△ABE=×(4﹣1.5t)×3=6﹣t,
S梯形ABOF=(2t+3)×4=4t+6,
∴S△AEF=S梯形ABOF﹣S△FOE﹣S△ABE=4t+6﹣t2﹣(6﹣t)=﹣t2+t,
S四边形AEOF=S梯形ABOF﹣S△ABE=4t+6﹣(6﹣t)=t,
又∵S△AEF=S四边形AEOF
∴﹣t2+t=×t,(0<t<)
解得t=或t=0(舍去).
∴当t=时,S△AEF=S四边形AEOF.
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【题目】小明随机调查了若干市民租用共享单车的骑车时间t(单位:分),将获得的数据分成四组,绘制了如下统计图(A:0<t≤10,B:10<t≤20,C:20<t≤30,D:t>30),根据图中信息,解答下列问题:
(1)这项被调查的总人数是多少人?
(2)试求表示A组的扇形统计图的圆心角的度数,补全条形统计图;
(3)如果小明想从D组的甲、乙、丙、丁四人中随机选择两人了解平时租用共享单车情况,请用列表或画树状图的方法求出恰好选中甲的概率.
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【题目】关公,作为运城乃至山西的一张名片,吸引了来自世界各地的游客,在运城西南公里的常平村(关公故乡)南山上,有一尊巨型关公铜像,高米,象征关公享年岁,底座的高度也有一定寓意.有一位游客,对此产生了兴趣,想测量它的高度,由于游客无法直接到达铜像底部,因此该游客计划借助坡面高度来测量它的高度.如图,代表底座的高,坡顶与底座底部处在同一水平面上,该游客在斜坡底处测得该底座顶端的仰角为,然后他沿着坡度为的斜坡攀行了米,在坡顶处又测得该底座顶端的仰角为.求:
坡顶到地面的距离;
求底座的高度(结果精确到米).
(参考数据:,
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【题目】如图,△ABC的顶点的坐标分别为A(2,2),B(1,0),C(3,1)
(1)画出△ABC关于x轴对称的;
(2)画出△ABC绕原点O逆时针旋转90°的△A2B1C2,写出点C2的坐标;
(3)在(1)(2)的基础上,图中的,关于哪个点中心对称.
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【题目】如图,正方形ABCD中,点E,F分别在边AB,BC上,AF=DE,AF和DE相交于点G.
(1)观察图形,写出图中所有与∠AED相等的角.
(2)选择图中与∠AED相等的任意一个角,并加以证明.
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【题目】文化是一个国家、一个民族的灵魂,近年来,央视推出《中国诗词大会》、《中国成语大会》、《朗读者》、《经曲咏流传》等一系列文化栏目.为了解学生对这些栏目的喜爱情况,某学校组织学生会成员随机抽取了部分学生进行调查,被调查的学生必须从《经曲咏流传》(记为A)、《中国诗词大会》(记为B)、《中国成语大会》(记为C)、《朗读者》(记为D)中选择自己最喜爱的一个栏目,也可以写出一个自己喜爱的其他文化栏目(记为E).根据调查结果绘制成如图所示的两幅不完整的统计图.
请根据图中信息解答下列问题:
(1)在这项调查中,共调查了多少名学生?
(2)将条形统计图补充完整,并求出扇形统计图中“B”所在扇形圆心角的度数;
(3)若选择“E”的学生中有2名女生,其余为男生,现从选择“E”的学生中随机选出两名学生参加座谈,请用列表法或画树状图的方法求出刚好选到同性别学生的概率.
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【题目】如图是一座人行天桥的引桥部分的示意图,梯面AD、BE相互平行,且与地面成37°的夹角,DE是一段水平歇台,离地面高度3米.已知天桥高度BC为4.8米,引桥水平跨度AC为8米,求梯面AD、BE及歇台DE的长.(参考数据:,结果保留两位小数)
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【题目】如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=3,AC=4,点D是BC的中点,将△ABD沿AD翻折得到△AED,连CE
(1)求证:AD=ED
(2)连接BE,猜想△BEC的形状,并说明理由
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