Question

5．如图，已知抛物线y=-x²+2x+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，点D与点C关于抛物线的对称轴对称，点A的坐标为（-1，0）．
（1）求该抛物线的顶点坐标；
（2）若点E为该抛物线上的点，点F为直线AD上的点，且点E、F的纵坐标都是1，求线段EF的长；
（3）若点P是该抛物线上的一个动点，且点P在直线AD的上方，求△APD面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法可求该抛物线的解析式，进一步得到顶点坐标；
（2）先根据对称轴得到点C关于对称轴的对称点D的坐标为（2，3），根据待定系数法可求直线AD的解析式
，在y=x+1中，令y=1，可得F（0，1）．在y=-x²+2x+3中，令y=1，可得1=-x²+2x+3，解得${x_1}=1-\sqrt{3}$，${x_2}=1+\sqrt{3}$，根据两点之间的距离公式可得$EF=\sqrt{3}-1或\sqrt{3}+1$．
（3）过点P作PM⊥x轴于点M，交AD于点N．设点P的横坐标为m，则P（m，-m²+2m+3），N（m，m+1），可得PN=（-m²+2m+3）-（m+1）=-m²+m+2．可得S_△APD=S_△APN+S_△DPN=-$\frac{3}{2}$（m-$\frac{1}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，根据最值即可求解．

解答 解（1）∵抛物线y=-x²+2x+c过点A（-1，0），
∴0=-1-2+c，
∴c=3，
∴y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点坐标为（1，4）．
（2）∵C（0，3），抛物线的对称轴为x=1，
∴点C关于对称轴的对称点D的坐标为（2，3），
则直线AD的解析式为：y=x+1．
在y=x+1中，令y=1，得1=x+1，解得x=0，
∴F（0，1）．  
在y=-x²+2x+3中，令y=1，得1=-x²+2x+3，解得${x_1}=1-\sqrt{3}$，${x_2}=1+\sqrt{3}$，
∴点E的坐标为PM⊥x轴． 
∴$EF=\sqrt{3}-1或\sqrt{3}+1$．
（3）过点P作PM⊥x轴于点M，交AD于点N．
设点P的横坐标为m，则P（m，-m²+2m+3），N（m，m+1），
∴PN=（-m²+2m+3）-（m+1）=-m²+m+2． 
∴S_△APD=S_△APN+S_△DPN
=$\frac{1}{2}PN•（{x_D}-{x_A}）$
=$\frac{1}{2}（-{m^2}+m+2）×3$
=$-\frac{3}{2}{（m-\frac{1}{2}）^2}+\frac{27}{8}$．
∴当m=$\frac{1}{2}$时，${S_{△APD}}_{最大}=\frac{27}{8}$．

点评 本题考查了二次函数综合题，涉及的知识点有：一次函数解析式的确定、二次函数解析式的确定、图形面积的求法、两点间的距离公式等知识点．综合性较强，有一定的难度．