Question

【题目】已知:正方形ABCD，等腰直角三角板的直角顶点落在正方形的顶点D处，使三角板绕点D旋转.

(1)当三角板旋转到图1的位置时，猜想CE与AF的数量关系，并加以证明；

(2)在(1)的条件下，若DE:AE:CE= 1: :3，求∠AED的度数；

(3)若BC= 4，点M是边AB的中点，连结DM，DM与AC交于点O，当三角板的一边DF与边DM重合时(如图2)，若OF=，求CN的长.

Answer 1

【答案】（1）CE=AF；证明见解析；（2）135°；（3）.

【解析】试题分析： （1）由正方形额等腰直角三角形的性质判断出△ADF≌△CDE即可；

（2）设DE=k，表示出AE，CE，EF，判断出△AEF为直角三角形，即可求出∠AED；

（3）由AB∥CD，得出，求出DM，DO，再判断出△DFN∽△DCO，得到 ，求出DN即可．

试题解析：

（1）CE=AF；

证明：在正方形ABCD，等腰直角三角形CEF中，

FD=DE，CD=CA，∠ADC=∠EDF=90°

∴∠ADF=∠CDE，

∴△ADF≌△CDE，

∴CE=AF，

（2）设DE=k，

∵DE：AE：CE=1： ：3

∴AE=k，CE=AF=3k，

∴EF=k，

∵AE2+EF2=7k2+2k2=9k2，AF2=9k2，

即AE2+EF2=AF2

∴△AEF为直角三角形，

∴∠BEF=90°

∴∠AED=∠AEF+DEF=90°+45°=135°；

（3）∵M是AB中点，

∴MA=AB=AD，

∵AB∥CD，
∴，

在Rt△DAM中，DM=，

∴DO=，

∵OF=，

∴DF=,

∵∠DFN=∠DCO=45°，∠FDN=∠CDO，

∴△DFN∽△DCO，

∴,

∴ ,

∴DN=,

∴CN=CD-DN=4-=.