Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=mx2－(2m+1)x+m－5的图象与x轴有两个公共点．

（）求m的取值范围；

（）若m取满足条件的最小的整数，

①写出这个二次函数的表达式；

②当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n，求n的值；

③将此二次函数图象平移，使平移后的图象经过原点O．设平移后的图象对应的函数表达式为y=a(x－h)2 +k，当x<2时，y随x的增大而减小，求k的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）① ②；③

【解析】分析：（1）因为函数为二次函数，所以有m≠0，又因为图象与轴有两个交点，所以判别式△>0，联立即可解得的范围。

（2）①因为m>- 且m≠0，且m取满足条件的最小的整数，所以m=1，所以二次函数的解析式为；

②因为二次函数的对称轴为直线x= ，所以n≤x≤1时，y随x的增大而减小，当x=1时，函数值为-6，当x=n时，函数值为4-n，即可得到关于n的一元二次方程，求解即可；

③由平移后图象对应的函数表达式可得a=1，因为平移后的图象经过原点O，将点(0,0)代入平移后的函数表达式可得k=-，由x<2，y随x的增大而减小得对称轴h≥2，即可确定k的取值范围。

详解：（1）

∵该二次函数图像与x轴有两个交点

∴

（2）①

②

函数对称轴是直线x=1.5

因为在n≤x≤1范围内，x=n时y取到最大值

而当n≤x≤1时，函数值y的取值范围是－6≤y≤4－n

所以

得n=-2或n=4（不合题意）

③由题意得a=1，图象经过原点，可得

∵当x<2时，y随x的增大而减小

∴

则