Question

【题目】已知：如图，直线AB交两坐标轴于A（a，0）、B（0，b）两点，且a，b满足等式：+（b﹣4）2＝0，点P为直线AB上第一象限内的一动点，过P作OP的垂线且与过B点且平行于x轴的直线相交于点Q，

（1）求A，B两点的坐标；

（2）当P点在直线AB上的第一象限内运动时，AP﹣BQ的值变不变？如果不变，请求出这个定值；若变化请说明理由．

（3）延长QO与直线AB交于点M．请判断出线段AP，BM，PM三条线段构成三角形的形状，说明理由．

Answer 1

【答案】(1) A（﹣4，0）、B（0，4）；(2)见解析;(3)见解析.

【解析】

（1）由+（b-4）2直接可求a=-4，b=4；
（2）过点P作PN⊥AP，交x轴于点N，连接QN，则AN=AP，根据角的关系可证QM⊥ON，BQ=ON，AP-BQ=AN-ON=AO=4；
（3）直线AB的解析式y=x+4，设P（m，4+m），分别求出直线PO的解析式为y=x，直线PQ的解析式y=-x+，根据Q点纵坐标与B点纵坐标相同，可求Q（2m+4，4），求出OQ的直线解析式为y=x，M（，），分别将边表示出来PA2=2（m+4）2，BM2=2，PM2=2，利用勾股定理即可求解；

（1）+（b﹣4）2，

∴a＝﹣4，b＝4，

∴A（﹣4，0）、B（0，4）；

（2）如图1：过点P作PN⊥AP，交x轴于点N，连接QN，

∵AO＝BO＝4，

∴∠PAN＝45°，

∴AN＝AP，

∵∠BOP＝∠PQO，

∴∠PQO+∠PON＝90°，

∵∠OPQ＝90°，

∴∠BQN+∠QNO＝180°，

∵BQ∥ON，

∴QM⊥ON，

∴BQ＝ON，

∴AP﹣BQ＝AN﹣ON＝AO＝4；

（3）直线AB的解析式y＝x+4，

设P（m，4+m），

直线PO的解析式为y＝x，

∴直线PQ的解析式y＝﹣x+，

∵Q点纵坐标为4，

∴4＝﹣x+时，x＝2m+2，

Q（2m+4，4），

∴OQ的直线解析式为y＝x，

当x＝x+4时，x＝，

∴M（，）

∴PA2＝2（m+4）2，

BM2＝2，

PM2＝2，

∴PA2+BM2＝PM2，

∴线段AP，BM，PM三条线段构成三角形直角三角形；