Question

【题目】（1）（阅读与证明）

如图1，在正的外角内引射线，作点C关于的对称点E（点E在内），连接，、分别交于点F、G．

①完成证明：点E是点C关于的对称点，

，，．

正中，，，

，得．

在中，，______．

在中，，______．

②求证：．

（2）（类比与探究）

把（1）中的“正”改为“正方形”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：

①______；

②线段、、之间存在数量关系___________．

（3）（归纳与拓展）

如图3，点A在射线上，，，在内引射线，作点C关于的对称点E（点E在内），连接，、分别交于点F、G．则线段、、之间的数量关系为__________．

Answer 1

【答案】（1）①60°，30°；②证明见解析；（2）①45°；②BF=(AF+FG)；（3） ．

【解析】

（1）①根据等量代换和直角三角形的性质即可确定答案；②在FB上取AN=AF，连接AN．先证明△AFN是等边三角形，得到 ∠BAN=∠2=∠1，然后再证明△ABN≌△AEF，然后利用全等三角形的性质以及线段的和差即可证明；

（2）类比（1）的方法即可作答；

（3）根据（1）（2）的结论，即可总结出答案．

解：（1）①∵，，

∴，即60°；

∵

∴

故答案为60°，30°；

②在FB上取FN=AF，连接AN

∵∠AFN=∠EFG=60°

∴△AFN是等边三角形

∴AF=FN=AN

∵FN=AF

∴∠BAC=∠NAF=60°

∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2

∴∠BAN=∠2

∵点C关于的对称点E

∴∠2=∠1,AC=AE

∴∠BAN=∠2=∠1

∵AB=AC

∴AB=AE

在△ABN和△AEF

FN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE

∴△ABN≌△AEF

∴BN=EF

∵AG⊥CE，∠FEG=30°

∴EF=2FG

∴BN=EF=2FG

∵BF=BN+NF

∴BF=2FG+AF

（2）①点E是点C关于的对称点，

，，．

正方形ABCD中，，，

，得．

在中，，

45．

在中，，

45．

故答案为45°；

②在FB上取FN=AF，连接AN

∵∠AFN=∠EFG=45°

∴△AFN是等腰直角三角形

∴∠NAF=90°，AF=AN

∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2=90°,FN=AF

∴∠BAN=∠2

∵点C关于的对称点E

∴∠2=∠1,AC=AE

∴∠BAN=∠2=∠1

∵AB=AC

∴AB=AE

在△ABN和△AEF

FN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE

∴△ABN≌△AEF

∴BN=EF

∵AG⊥CE，∠FEG=45°

∴EF=FG

∴BN=EF=FG

∵BF=BN+NF

∴BF=FG+AF

（3）由（1）得：当∠BAC=60°时

BF=AF+2FG= ；

由（2）得：当∠BAC=90°时

BF=AF+2FG=；

以此类推，当当∠BAC= 60°时， ．