Question

【题目】阅读并解决问题:归纳

人们通过长期观察发现，如果早晨天空中有棉絮状的高积云，那么午后常有雷雨降临，于是有了“朝有破絮云，午后雷雨临”的谚语.在数学里，我们也常用这样的方法探求规律，例如:三角形有3个顶点，如果在它的内部再画n个点，并以(n+3)个点为顶点,把三角形剪成若干个小三角形，那么最多可以剪得多少个这样的三角形? .为了解决这个问题，我们可以从n=1、n=2、nr=3 等具体的、简单的情形入手，探索最多可以剪得的三角形个数的变化规律.

(1)完成表格信息：_______、_________;

(2)通过观察、比较,可以发现：三角形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加_________个.于是，我们可以猜想：当三角形内的点的个数为n时，最多可以剪得____________个三角形.像这样通过对现象的观察、分析，从特殊到-般地探索这类现象的规律、提出猜想的思想方法称为归纳.在日常生活中，人们互相交谈时，常常有人在列举了一些现象后，说“这(即列举的现象)说明....其实这就是运用了归纳的方法.用归纳的方法得出的结论不一定正确，是否正确需要加以证实.

(3)请你借助表格尝试用归纳的方法探索: 1+3+5+7+......+(2n-1)的和是多少?并加以证实.

Answer 1

【答案】（1）5，7；（2）2，2n+1；（3）S=n2，见解析

【解析】

（1）由图形规律可得，答案为5，7；

（2）因为5-3=7-5=2，所以三角形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加2个；∵三角形内点的个数为1时，最多剪出的小三角形个数3=2×1+1，因为三角形内点的个数为2时，最多剪出的小三角形个数5=2×2+1，三角形内点的个数为3时，7最多剪出的小三角形个数7=2×3+1，所以三角形内点的个数为n时，最多剪出的小三角形个数2n+1；

（3）用倒序相加法证明即可．

（1）把表格补充完整如下：

故答案为：5，7；

（2）∵5-3=7-5=2，

∴三角形内的点每增加1个，最多可以剪得的三角形增加2个；

∵三角形内点的个数为1时，最多剪出的小三角形个数3=2×1+1，

三角形内点的个数为2时，最多剪出的小三角形个数5=2×2+1，

三角形内点的个数为3时，7最多剪出的小三角形个数7=2×3+1，

……

∴三角形内点的个数为n时，最多剪出的小三角形个数为2n+1．

故答案为2，（2n+1）；

（3）

证明：∵S=1+3+5+7+…+（2n-5）+（2n-3）+（2n-1），

∴S=（2n-1）+（2n-3）+（2n-5）+…+7+5+3+1，

∴S+S=2nn=2n2，

2S=2n2

S=n2