Question

【题目】某数学兴趣小组在探究函数y＝x2﹣2|x|+3的图象和性质时，经历了以下探究过程：

（1）列表（完成下列表格）．

x	…	﹣3	﹣2	﹣1	﹣	0		1	2	3	…
y	…	6	3	2				2	3	6	…

（2）描点并在图中画出函数的大致图象；

（3）根据函数图象，完成以下问题：

①观察函数y＝x2﹣2|x|+3的图象，以下说法正确的有　 　（填写正确的序号）

A．对称轴是直线x＝1；

B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2）；

C．当﹣1＜x＜1时，y随x的增大而增大；

D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点；

E．函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象，可以看作是函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向右平移2个单位得到．

②结合图象探究发现，当m满足　 　时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解．

③设函数y＝x2﹣2|x|+3的图象与其对称轴相交于P点，当直线y＝n和函数y＝x2﹣2|x|+3图象只有两个交点时，且这两个交点与点P所构成的三角形是等腰直角三角形，求n的值．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）①B、D、E；②2＜m＜3；③n＝2或6．

【解析】

（1）把x＝﹣，0，分别代入函数表达式即可求解；（2）描点确定函数图象；（3）①结合图象，根据二次函数的性质依次判断各项即可求解；②根据二次函数的图象即可解答；③如图，当直线y＝n处于直线m或m′的位置时，由此即可求解．

（1）把x＝﹣，0，分别代入函数表达式得：y＝，3，；

故答案为，3，；

（2）描点确定函数图象如下：

（3）①A．对称轴是直线x＝0，故错误；

B．函数y＝x2﹣2|x|+3的图象有两个最低点，其坐标分别是（﹣1，2）、（1，2），故正确；

C．当﹣1＜x＜1时，函数在y轴右侧，y随x的增大而增大，故错误；

D．当函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向下平移3个单位时，图象与x轴有三个公共点，正确；

E．函数y＝（x﹣2）2﹣2|x﹣2|+3的图象，可以看作是函数y＝x2﹣2|x|+3的图象向右平移2个单位得到，正确；

故答案为：B、D、E；

②从图象看，2＜m＜3时，方程x2﹣2|x|+3＝m有四个解；

③如图，当直线y＝n处于直线m或m′的位置时，

点P和图象上的点构成等腰直角三角形，

即n＝2或6．