Question

【题目】如图，已知，将一个直角三角形纸片()的一个顶点放在点处，现将三角形纸片绕点任意转动，平分斜边与的夹角，平分.

（1）将三角形纸片绕点转动(三角形纸片始终保持在的内部)，若，则_______；

（2）将三角形纸片绕点转动(三角形纸片始终保持在的内部)，若射线恰好平方，若，求的度数;

（3）将三角形纸片绕点从与重合位置逆时针转到与重合的位置，猜想在转动过程中和的数量关系？并说明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3），证明见解析

【解析】

（1）利用角平分线定义得出，，再利用∠AOB的和差关系进行列方程即可求解；

（2）利用，表达出∠AOC、∠BOD，利用∠AOB的和差关系进行列方程即可求解；

（3）画出图形后利用角的和差关系进行计算求解即可．

解：（1）∵平分斜边与的夹角，平分．

∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD

∴设

∴，

∵

∴

∴

故答案为:

（2）∵

∴设

∵射线恰好平方

∴

∴

∵平分斜边与的夹角，平分．

∴OM平分∠AOC, ON平分∠BOD

∴

∴

∵

∴

∴

(3) ,证明如下：

当OC与OA重合时，设∠COD=x,则

∵ON平分∠BOD

∴

∴

∴

当OC在OA的左侧时

设∠AOD=a，∠AOC=b，则∠BOD=∠AOB-∠AOD=150°-a，∠COD=∠AOD+∠AOC=a+b

∵ON平分∠BOD

∴

∵OM平分∠AOC

∴

∴∠MON=∠MOA+∠AOD+∠DON

当OD与OA重合时

∵ON平分∠AOB

∴

∵OM平分∠AOC

∴

∴

综上所述