Question

【题目】如图，在△ABC中，AD⊥BC于点D，BD=3cm，DC=8cm，AD=4cm，动点P从点B出发，沿折线BA﹣AC向终点C做匀速运动，点P在线段BA上的运动速度是5cm/s；在线段AC上的运动速度是cm/s，当点P不与点B、C重合时，过点P作PQ⊥BC于点Q，将△PBQ绕PQ的中点旋转180°得到△QB′P，设四边形PBQB′与△ABD重叠部分图形的面积为y（cm2），点P的运动时间为x（s）．

（1）用含x的代数式表示线段AP的长．

（2）当点P在线段BA上运动时，求y与x之间的函数关系式．

（3）当经过点B′和△ADC一个顶点的直线平分△ADC的面积时，直接写出x的值．

Answer 1

【答案】（1）当时，PA=5t，当1<x<5时,

（2）y=；（3）x=s或s或s时，经过点B′和△ADC一个顶点的直线平分△ADC的面积．

【解析】分析：（1）分两种情形讨论即可．
（2）分两种情形①如图1中，当时,重叠部分是四边形PBQB′.

②如图2中，当重叠部分是五边形PBQMN.分别求解即可．
（3）分三种情形①如图3中，当PA=B时，PB′是△ABD是中位线．②如图4中，设AB′的延长线交BC于G．③如图5中，连接DB′交AC于N，延长B′P交AD于T，作NM⊥PB′于M，NH⊥AD于H．分别构建方程即可解决问题．

详解：(1)当时，PA=5t，

当1<x<5时,

(2)如图1中,当时,重叠部分是四边形PBQB′.

∵PQ⊥BC，AD⊥BC，

∴PQ∥AD，

∴

∴

∴PQ=4x，BQ=3x，

由题意四边形PBQB′是平行四边形，

∴

如图2中,当重叠部分是五边形PBQMN.

∵PN∥BD，

∴

∴PN=3(1x),B′N=3x3(1x)=6x3,易知MN=4(2x1)，

∴

综上所述,

(3)如图3中,当PA=B时,PB′是△ABD是中位线。

∴AB′=DB′,此时CB′平分△ADC的面积,此时.

如图4中,设AB′的延长线交BC于G.

当DG=GC=4时,AB′平分△ADC的面积，

∵PB′∥BG，

∴ ∴

∴

如图5中,连接DB′交AC于N,延长B′P交AD于T,作NM⊥PB′于M，NH⊥AD于H.

由题意PA=(x1),AT=x1,TP=2(x1),PB′=BQ=3+2(x1)=2x+1，

当AN=CN时,DB′平分△ADC的面积，

∴可得AH=HD=2，HN=TM=2，

∴B′M=TB′MT=2(x1)+2x+14=4x5,MN=2(x1)=3x,TD=4(x1)=5x，

∵MN∥TD，

∴

∴

∴

综上所述,x=s或s或s时,经过点B′和△ADC一个顶点的直线平分△ADC的面积。