【题目】在平面直角坐标系中,对于点
,如果点
的纵坐标满纵坐标满足:
,那么称点
为点
的“关联点”.
(1)请直接写出点的“关联点”的坐标____________;
(2)若点在函数
的图像上,其“关联点”
与点
重合,求点
的坐标;
(3)若点的“关联点”
在函数
的图像上,当
时,求线段
的最大值.
【答案】(1)(3,2);(2)(4,2);(3)当m≥n时,MN有最大值为14;当m<n时,线段MN的最大值为2.
【解析】
(1)根据关联点的定义,即可得到答案;
(2)根据关联点的定义,可得到Q点坐标,根据点重合,得到方程,解方程即可得到答案;
(3)根据关联点的定义,分成两种情况,当m≥n时,与当m<n时,在每种情况下,求出N的坐标,根据平行于y的直线上的两点的距离,可得到二次函数,然后根据二次函数性质求函数的最大值即可.
(1)∵3<5,根据关联点定义
∴y’=5-3=2
故点(3,5)的“关联点”的坐标为(3,2).
(2)P在函数y=x-2的图像上
设P点坐标为(x,x-2)
∵x>x-2,根据关联点定义得到Q点(x,2)
又因为P、Q重合,所以有2=x-2,得到x=4
∴P点坐标为(4,2).
(3)点的“关联点”是
,共分两种情况考虑.
①当m≥n时,点N的坐标为(m,m-n)
∵N在二次函数上
∴m-n=2m2,得到n=-2m2+m,
∴yM =-2m2+m,yN=2m2
∴MN=丨yM- yN丨=丨-4m2+m丨
当0≤m≤,-4m2+m≥0,
MN=-4m2+m=-4(m-)2+
∴当m=时,线段MN的最大值为
.
当<m≤2时,-4m2+m<0,
∴MN=4m2-m=4(m-)2-
,当m=2时,MN有最大值为14
∴当m≥n时,MN有最大值为14;
②当m<n时,点N的坐标为(m,n-m)
∵N在二次函数上
∴n-m=2m2,即n=2m2+m
∴yM =2m2+m,yN=2m2
∴MN=丨yM- yN丨=丨m丨
∵
∴MN=m
当m=2时,线段MN的最大值为2.
即当m<n时,线段MN的最大值为2.
∴综上,当m≥n时,MN有最大值为14;当m<n时,线段MN的最大值为2.
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【题目】如图,小明在教学楼的窗户A处,测量楼前的一棵树CD的高.现测得树顶C处的俯角为45°,树底D处的俯角为60°,楼底到大树的距离BD为10米.请你帮助小明计算树的高度(精确到0.1米).
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【题目】2019年中国北京世界园艺博览会(以下简称“世园会”)于4月29日至10月7日在北京延庆区举行.世园会为满足大家的游览需求,倾情打造了4条各具特色的趣玩路线,分别是:.“解密世园会”、
.“爱我家,爱园艺”、
.“园艺小清新之旅”和
.“快速车览之旅”.李欣和张帆都计划暑假去世园会,他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览,每条线路被选择的可能性相同.
(1)李欣选择线路.“园艺小清新之旅”的概率是多少?
(2)用画树状图或列表的方法,求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率.
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【题目】如图,平行四边形ABCD中,E是CD的延长线上一点,BE与AD交于点F,CD=2DE.若△DEF的面积为a,则平行四边形ABCD的面积为 ▲ (用a的代数式表示).
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【题目】一个二次函数图像上部分点的横坐标,纵坐标
的对应值如下表:
… | -4 | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | … | |
… | 0 | 2 | 0 | -6 | … |
(1)的值为______;
(2)在给定的直角坐标系中,画出这个函数的图像;
(3)当时,求
的取值范围.
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【题目】函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用,下面我们就一类特殊的函数展开探索.画函数的图象,经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示;经历同样的过程画函数
和
的图象如图所示.
x | … | ﹣3 | ﹣2 | ﹣1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … |
y | … | ﹣6 | ﹣4 | ﹣2 | 0 | ﹣2 | ﹣4 | ﹣6 | … |
(1)观察发现:三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形;三个函数解折式中绝对值前面的系数相同,则图象的开口方向和形状完全相同,只有最高点和对称轴发生了变化.写出点A,B的坐标和函数的对称轴.
(2)探索思考:平移函数的图象可以得到函数
和
的图象,分别写出平移的方向和距离.
(3)拓展应用:在所给的平面直角坐标系内画出函数的图象.若点
和
在该函数图象上,且
,比较
,
的大小.
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【题目】如图,AB为⊙O的直径,点C为圆上一点,∠BAC=20°,将劣弧沿弦AC所在的直线翻折,交AB于点D,则弧
的度数等于( )
A.40°B.50C.80°D.100
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【题目】四边形的一条对角线把这个四边形分成了两个三角形,如果这两个三角形相似但不全等,我们就把这条对角线叫做这个四边形的“相似对角线”.
(1)如图1,在四边形中,
,
,
,对角线
平分
.求证:
是四边形
的“相似对角线”;
(2)如图2,已知格点,请你在正方形网格中画出所有的格点四边形
,使四边形
是以
为“相似对角线”的四边形;(注:顶点在小正方形顶点处的多边形称为格点多边形)
(3)如图3,四边形中,点
在射线
:
上,点
在
轴正半轴上,对角线
平分
,连接
.若
是四边形
的“相似对角线”,
,求点
的坐标.
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【题目】已知在平面直角坐标系中,点C(0,2),D(3,4),在x轴正半轴上有一点A,且它到原点的距离为1.
(1)求过点C、A、D的抛物线的解析式;
(2)设(1)中抛物线与x轴的另一个交点为B,求四边形CABD的面积;
(3)把(1)中的抛物线先向左平移一个单位,再向上或向下平移多少个单位能使抛物线与直线AD只有一个交点?
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