Question

【题目】已知在平面直角坐标系中，点C（0，2），D（3，4），在x轴正半轴上有一点A，且它到原点的距离为1．

（1）求过点C、A、D的抛物线的解析式；

（2）设（1）中抛物线与x轴的另一个交点为B，求四边形CABD的面积；

（3）把（1）中的抛物线先向左平移一个单位，再向上或向下平移多少个单位能使抛物线与直线AD只有一个交点？

Answer 1

【答案】（1）y＝；（2）S四边形CABD＝5；（3）抛物线y＝x向下平移个单位，与直线AD只有一个交点．

【解析】

（1）将A,C,D三点坐标代入，用待定系数法求抛物线的解析式即可.

（2）可以先将B点坐标求出来，然后作DE⊥x轴于点E，则S四边形CABD＝S梯形OEDC﹣S△AOC﹣S△BDE

（3）用待定系数法求出直线AD的解析式，然后将抛物线平移后的解析式设出来，联立之后利用根的判别式为0即可求出.

（1）根据题意可知A的坐标为（1，0），

设过C、A、D三点的抛物线的解析式为：y＝ax2+bx+c（a≠0），

∵C（0，2），A（1，0），D（3，4），

解得，

故过C、A、D三点的抛物线的解析式为：y＝

（2）∵点B为抛物线与x轴的另一个交点，令y＝0，

则

∴x1＝1，x2＝，

∴点B的坐标为，

作DE⊥x轴于点E，

∴S四边形CABD＝S梯形OEDC﹣S△AOC﹣S△BDE＝

（3）把抛物线y＝，

即y＝，

向左平移一个单位得到的抛物线的解析式为：y＝，

即y＝，

设抛物线y＝向上或向下平移|k|个单位能使抛物线与直线AD只有一个交点，

则向上或向下平移|k|个单位抛物线的解析式为：y＝，

设过A、D两点的解析式为y＝ax+b，

∵A（1，0），D（3，4），

代入上式得，

解得，

∴直线AD的解析式为：y＝2x﹣2，

得，

∴4x2﹣8x+3k+6＝0，

∴△＝64﹣16（3k+6）＝0，

解得，k＝﹣，

即抛物线y＝向下平移个单位，与直线AD只有一个交点．