【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC,P是△ABC内的一点,PA=3,PB=1,CD=PC=2,CD⊥PC.
(1)找出图中一对全等三角形,并证明;
(2)求∠BPC的度数.
【答案】(1)△APC≌△BDC,理由见解析;(2) ∠BPC=135°.
【解析】
(1)根据同角的余角相等求出∠ACP=∠BCD,再利用“边角边”证明△APC≌△BDC;
(2)先判断出△PCD是等腰直角三角形,再根据全等三角形对应边相等可得AP=BD,然后利用勾股定理逆定理判断出△BPD是直角三角形,∠BPD=90°,再根据∠BPC=∠BPD+∠CPD代入数据计算即可得解
(1)△APC≌△BDC,理由如下:
∵∠ACB=90°,CD⊥CP,∴∠ACB=∠PCD,
∴∠ACB-∠PCB=∠PCD-∠PCB,
即∠ACP=∠BCD,
又∵AC=BC,PC=DC,∴△APC≌△BDC(SAS).
(2)∵△APC≌△BDC,∴AP=BD,
∵PC=CD=2,∠PCD=90°,
∴PD2=PC2+CD2=8,∠CPD=45°.
∵PA=3,PB=1,∴BD=3,∴BD2=9,PB2=1.
∴BD2=PB2+PD2,∴∠BPD=90°.
∴∠BPC=∠BPD+∠CPD=135°.
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【题目】如图,梯形OABC中,O为直角坐标系的原点,A、B、C的坐标分别为(14,0)、(14,3)、(4,3).点P、Q同时从原点出发,分别作匀速运动,点P沿OA以每秒1个单位向终点A运动,点Q沿OC、CB以每秒2个单位向终点B运动.当这两点中有一点到达自己的终点时,另一点也停止运动.
(1)设从出发起运动了x秒,且x>2.5时,Q点的坐标;
(2)当x等于多少时,四边形OPQC为平行四边形?
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【题目】如图,在平面直角坐标系中,,
,过点
画
轴的垂线
,点
在线段
上,连结
并延长交直线
于点
,过点
画
交直线
于点
.
(1)求的度数,并直接写出直线
的解析式;
(2)若点的横坐标为2,求
的长;
(3)当时,求点
的坐标.
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【题目】若二次函数y=﹣x2+4x+c的图象经过A(1,y1),B(﹣1,y2),C(2+ ,y3)三点,则y1、y2、y3的大小关系是( )
A.y1<y2<y3
B.y1<y3<y2
C.y2<y3<y1
D.y2<y1<y3
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【题目】如图,气象部门观测到距A市正南方向240km的B处有一台风中心,其中心最大风力为12级,该台风中心正以20km/h的速度沿北偏东30°的BC方向移动,且台风中心风力不变,已知每远离台风中心20km,风力就减弱一级,台风中心在移动的过程中,其周围130km的范围内都要受到影响.
(1)A市是否会受到这次台风影响?若受台风影响,则所受的最大风力是几级?
(2)A市遭受到这次台风影响多长时间?
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【题目】如图所示,抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A(﹣1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)如图所示,直线BC下方的抛物线上有一点P,过点p作PE⊥BC于点E,作PF平行于x轴交直线BC于点F,求△PEF周长的最大值;
(3)已知点M是抛物线的顶点,点N是y轴上一点,点Q是坐标平面内一点,若点P是抛物线上一点,且位于抛物线的对称轴右侧,是否存在以P、M、N、Q为顶点且以PM为边的正方形?若存在,直接写出点P的横坐标;若不存在,说明理由.
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【题目】我们知道平行四边形有很多性质,现在如果我们把平行四边形沿着它的一条对角线翻折,会发现这其中还有更多的结论.
(发现与证明)在ABCD中,AB≠BC,将△ABC沿AC翻折至△AB′C,连结B′D.
(1)填空:B′E DE(填“<,=,>”);
(2)求证:B′D∥AC;
(应用与探究)
(3)在ABCD中,已知:BC=4,∠B=60°,将△ABC沿AC翻折至△AB′C,连结B′D.若以A、C、D、B′为顶点的四边形是矩形,求AC的长.
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