Question

【题目】如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AC上一动点（不与点A、C重合）,过D作DE⊥AB于E.

（1）当BD平分∠ABC时

①若AC=8，BC=6，求线段AE的长度；

②在①的条件下,求△ADB的面积；

（2）延长BC、ED相交于点F,若CD=CB,∠CDF=60°，求∠DBE的度数.

Answer 1

【答案】（1）① 4；②15；（2）15°.

【解析】试题分析:(1) ①先根据勾股定理求出AB,再根据角平分线的性质可证得:CD=DE,利用HL判定Rt△DCB≌Rt△DEB,所以CB=EB=6,然后根据线段和差关系计算AE的长度,

②设DC=x,则DE= x ,AD=8－x,在Rt△ADE中,利用勾股定理列方程,求出x,可得DE,然后利用三角形面积公式进行计算求△ADB的面积,

(2)根据∠CDF=60°,可得∠ADE=60°,因为DE⊥AB,所以∠DAE=90°－60°=30°,

所以∠ABC=90°－30°=60°,根据角的和差关系可求得∠DBE的度数.

试题解析:(1) ①在Rt△ABC中,AC=8,BC=6,由勾股定理可得:

AB=,

因为BD平分∠ABC, ∠ACB=90°,DE⊥AB,

所以DC=DE,

在Rt△DCB和Rt△DEB中,

,

所以Rt△DCB≌Rt△DEB,

所以EB=CB=6,

所以AE=AB－EB=10-6=4,

②设DC=x,则DE= x ,AD=8－x,

在Rt△ADE中,由勾股定理可得:

,即,

解得x=3,即DE=3,

所以.

(2)因为∠CDF=60°,

所以∠ADE=60°,

因为DE⊥AB,

所以∠DAE=90°－60°=30°,

所以∠ABC=90°－30°=60°,

又因为DC=BC,∠BCD=90°,

所以∠CBD=45°,

所以∠DBE=∠ABC－∠CBD=60°－45°=15°.