【题目】如图,是一条射线,、分别是和的平分线.
(1)如图①,当时,则的度数为________________;
(2)如图②,当射线在内绕点旋转时,、、三角之间有怎样的数量关系?并说明理由;
(3)当射线在外如图③所示位置时,(2)中三个角:、、之间数量关系的结论是否还成立?给出结论并说明理由;
(4)当射线在外如图④所示位置时,、、之间数量关系是____________.
【答案】(1);(2),详见解析;(3)不成立,,详见解析;(4);
【解析】
(1)(2)根据角平分线定义得出∠DOC=∠AOC,∠EOC=∠BOC,求出∠DOE=(∠AOC+∠BOC)=AOB,即可得出答案;(3)根据角平分线定义得出∠DOC=∠AOC,∠EOC=∠BOC,求出∠DOE=(∠AOC∠BOC)=∠AOB,即可得出答案;(4)根据角平分线定义即可求解.
解:当射线OC在∠AOB的内部时,
∵OD,OE分别为∠AOC,∠BOC的角平分线,
∴∠DOC=∠AOC,∠EOC=∠BOC,
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=(∠AOC+∠BOC)=∠AOB,
(1)若∠AOB=80°,则∠DOE的度数为40°.
故答案为:40;
(2)∠DOE=∠DOC+∠EOC=∠AOC+∠BOC=∠BOE+∠DOA.
(3)当射线OC在∠AOB的外部时 (1)中的结论不成立.理由是:
∵OD、OE分别是∠AOC、∠BOC的角平分线
∴∠COD=∠AOC,
∠EOC=∠BOC,
∠DOE=∠COD∠EOC∠AOC∠BOC=∠AOD∠BOE.
(4)∵OD,OE分别为∠AOC,∠BOC的角平分线,
∴∠DOC=∠AOD,∠EOC=∠BOE,
∴∠DOE=∠DOC+∠EOC=∠BOE+∠DOA.
故∠BOE、∠EOD、∠DOA之间数量关系是∠DOE=∠BOE+∠DOA.
故答案为:∠DOE=∠BOE+∠DOA.
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【题目】如图,已知正比例函数y=2x与反比例函数y=(k>0)的图象交于A、B两点,且点A的横坐标为4,
(1)求k的值;
(2)根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围;
(3)过原点O的另一条直线l交双曲线y=(k>0)于P、Q两点(P点在第一象限),若由点A、P、B、Q为顶点组成的四边形面积为224,求点P的坐标.
【答案】(1) k=32 (2) x<﹣8或0<x<8 (3) P(﹣7+3 ,16+);或P(7+3,﹣16+)
【解析】分析:(1)先将x=4代入正比例函数y=2x,可得出y=8,求得点A(4,8),再根据点A与B关于原点对称,得出B点坐标,即可得出k的值;
(2)正比例函数的值小于反比例函数的值即正比例函数的图象在反比例函数的图象下方,根据图形可知在交点的右边正比例函数的值小于反比例函数的值.
(3)由于双曲线是关于原点的中心对称图形,因此以A、B、P、Q为顶点的四边形应该是平行四边形,那么△POA的面积就应该是四边形面积的四分之一即56.可根据双曲线的解析式设出P点的坐标,然后表示出△POA的面积,由于△POA的面积为56,由此可得出关于P点横坐标的方程,即可求出P点的坐标.
详解:(1)∵点A在正比例函数y=2x上,
∴把x=4代入正比例函数y=2x,
解得y=8,∴点A(4,8),
把点A(4,8)代入反比例函数y=,得k=32,
(2)∵点A与B关于原点对称,
∴B点坐标为(﹣4,﹣8),
由交点坐标,根据图象直接写出正比例函数值小于反比例函数值时x的取值范围,x<﹣8或0<x<8;
(3)∵反比例函数图象是关于原点O的中心对称图形,
∴OP=OQ,OA=OB,
∴四边形APBQ是平行四边形,
∴S△POA=S平行四边形APBQ×=×224=56,
设点P的横坐标为m(m>0且m≠4),
得P(m, ),
过点P、A分别做x轴的垂线,垂足为E、F,
∵点P、A在双曲线上,
∴S△POE=S△AOF=16,
若0<m<4,如图,
∵S△POE+S梯形PEFA=S△POA+S△AOF,
∴S梯形PEFA=S△POA=56.
∴(8+)(4﹣m)=56.
∴m1=﹣7+3,m2=﹣7﹣3(舍去),
∴P(﹣7+3,16+);
若m>4,如图,
∵S△AOF+S梯形AFEP=S△AOP+S△POE,
∴S梯形PEFA=S△POA=56.
∴×(8+)(m﹣4)=56,
解得m1=7+3,m2=7﹣3(舍去),
∴P(7+3,﹣16+).
∴点P的坐标是P(﹣7+3,16+);或P(7+3,﹣16+).
点睛:本题考查了待定系数法求反比例函数与一次函数的解析式和反比例函数y=中k的几何意义.这里体现了数形结合的思想,做此类题一定要正确理解k的几何意义.利用数形结合的思想,求得三角形的面积.
【题型】解答题
【结束】
23
【题目】如图,在梯形ABCD中,AD∥BC,AB=DC=AD=9,∠ABC=70°,点E,F分别在线段AD,DC上(点E与点A,D不重合),且∠BEF=110°.
(1)求证:△ABE∽△DEF.
(2)当点E为AD中点时,求DF的长;
(3)在线段AD上是否存在一点E,使得F点为CD的中点?若存在,求出AE的长度;若不存在,试说明理由.
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【题目】如图,△ABC内接于⊙O,且AB=BC.AD是⊙O的直径,AC、BD交于点E,P为DB延长线上一点,且PB=BE.
(1)求证:△ABE∽△DBA;
(2)试判断PA与⊙O的位置关系,并说明理由;
(3)若E为BD的中点,求tan∠ADC的值.
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【题目】某市电力部门对居民用电按月收费,标准如下:①用电不超过度的,每度收费元;②用电超过度的,超过部分每度收费元.请根据上述收费标准解答下列问题:
(1)小明家月份用电度,应交电费______________元;
(2)小明家月交电费元,则他家月份用电多少度?
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【题目】货车在公路A处加满油后,以每小时60千米的速度匀速行驶,前往与A处相距360千米的B处.下表记录的是货车一次加满油后油箱剩余油量y(升)与行驶时间x(时)之间的关系:
(1)如果y关于x的函数是一次函数,求这个函数解析式(不要求写出自变量的取值范围)
(2)在(1)的条件下,如果货车的行驶速度和每小时的耗油量都不变,货车行驶4小时后到达C处,C的前方12千米的D处有一加油站,那么在D处至少加多少升油,才能使货车到达B处卸货后能顺利返回会D处加油?(根据驾驶经验,为保险起见,油箱内剩余油量应随时不少于10升)
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【题目】如图,在方格纸中,点、、是三个格点(网格线的交点叫做格点)
(1)画线段,画射线,过点画的平行线;
(2)过点画直线的垂线,垂足为点,则点到的距离是线段______的长度;
(3)线段______线段(填“>”或“<”),理由是______.
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【题目】在一次运输任务中,一辆汽车将一批货物从甲地运往乙地,到达乙地卸货后返回甲地.设汽车从甲地出发x(h)时,汽车与甲地的距离为y(km),y与x的关系如图所示.
根据图像回答下列问题:
(1)汽车在乙地卸货停留 (h);
(2)求汽车返回甲城时y与x的函数解析式,并写出定义域;
(3)求这辆汽车从甲地出发4 h时与甲地的距离.
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【题目】如图,E、F分别是正方形ABCD的边AD、CD上的点,且AE=DF,AF、BE相交于点P,设AB=,AE= ,则下列结论:①△ABE≌△DAF;②AF⊥BE;③;④若,连接BF,则tan∠EBF=.其中正确的结论是______.(填写所有正确结论的序号)
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【题目】已知线段AB=m(m为常数),点C为直线AB上一点(不与点A、B重合),点M、N分别在线段BC、AC上,且满足CN=3AN,CM=3BM.
(1)如图,当点C恰好在线段AB中点,且m=8时,则MN=______;
(2) 若点C在点A左侧,同时点M在线段AB上(不与端点重合),请判断CN+2AM -2MN的值是否与m有关?并说明理由.
(3) 若点C是直线AB上一点(不与点A、B重合),同时点M在线段AB上(不与端点重合),求MN长度 (用含m的代数式表示).
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