Question

如图，点D在⊙O的直径AB的延长线上，点C在⊙O上，AC=CD，∠D=30°，若⊙O的半径为4．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）求BD的长；
（3）阴影部分的面积．

Answer 1

考点：切线的判定,扇形面积的计算

专题：

分析：（1）连接OC，则得出∠COD=2∠CAO=2∠D=60°，可求得∠OCD=90°，可得出结论；
（2）在Rt△OCD中，∠D=30°，可得出OD=2OC=8，OB=8，可求出BD的长度；
（3）可利用△OCD的面积-扇形BOC的面积求得阴影部分的面积．

解答：（1）证明：连接OC，则∠COD=2∠CAD，
∵AC=CD，
∴∠CAD=∠D=30°，
∴∠COD=60°，
∴∠OCD=180°-60°-30°=90°，
∴OC⊥CD，
即CD是⊙O的切线；
（2）解：由（1）知△OCD为直角三角形，且∠D=30°，
所以OD=2OC=2×4=8，且OB=4，所以BD=8-4=4；
（3）解：在Rt△OCD中，OC=4，OD=8，由勾股定理可求得CD=4

3

，
所以S_△OCD=

1

2

OC•CD=

1

2

×4×

3

=2

3

，
因为∠COD=60°，所以S_扇形COB=

60π×42

360

=

8

3

π，
所以S_阴影=S_△OCD-S_扇形COB=2

3

-

8

3

π．

点评：本题主要考查切线的判定及扇形面积的计算，证明切线时，连接过切点的半径是解题的关键．