Question

已知△ABC与△CDE均为等边三角形，M、N为连接BE、AD时与AC、CE的交点．求证：MN∥BD．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等边三角形的判定与性质,相似三角形的判定与性质

专题：证明题

分析：易证∠ACE=60°可得∠ACD=∠BCE=120°，即可证明△ACD≌△BCE，可得∠BEC=∠ADC，即可证明△ECM≌△DCN，可得CM=CN，即可判定△CMN是等边三角形，可得∠CMN=60°，即可解题．

解答：证明：∵△ABC与△CDE均为等边三角形，
∴∠ACB=∠ECD=60°，AC=BC，CE=CD，
∴∠ACE=60°，
∴∠ACD=∠BCE=120°，
在△ACD和△BCE中，

AC=BC ∠ACD=∠BCE=120° CD=CE

，
∴△ACD≌△BCE，（SAS）
∴∠BEC=∠ADC，
在△ECM和△DCN中，

∠BEC=∠ADC CE=CD ∠ACE=∠ECD=60°

，
∴△ECM≌△DCN（ASA），
∴CM=CN，
∴△CMN是等边三角形，
∴∠CMN=60°，
∵∠ACB=60°，
∴MN∥BD．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边、对应角相等的性质，考查了等边三角形的性质，本题中求证△ACD≌△BCE和△ECM≌△DCN是解题的关键．