Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，与y轴交于点B．

（1）用含a的代数式表示b；

（2）若∠BAO＝45°，求a的值；

（3）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．若抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，结合函数的图象，直接写出a的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）b＝4a；（2）；（3）或a＝1．

【解析】

（1）先将抛物线解析式化为顶点式，然后根据抛物线y＝ax2+4ax+b（a＞0）的顶点A在x轴上，可以得到该抛物线的顶点纵坐标为0，从而可以得到a和b的关系；

（2）根据抛物线解析式，可以得到点B的坐标为（0，4a），然后∠BAO＝45°，可知4a＝2，从而可以求得a的值；

（3）根据函数图象，可以写出a的取值范围．

解：（1）∵y＝ax2+4ax+b＝a（x+2）2+（b﹣4a），

∴该抛物线顶点A的坐标为（﹣2，b﹣4a），

∵顶点A在x轴上，

∴b﹣4a＝0，

即b＝4a；

（2）∵b＝4a，

∴抛物线为y＝ax2+4ax+4a（a＞0），

∵抛物线顶点为A（﹣2，0），与y轴的交点B（0，4a）在y轴的正半轴，∠BAO＝45°，

∴OB＝OA＝2，

∴4a＝2，

∴；

（3）或a＝1．

理由：∵点A（﹣2，0），点B（0，4a），

设直线AB的函数解析式为y＝mx+n，

，得，

即直线AB的解析式为y＝2ax+4a，

∵抛物线解析式为y＝ax2+4ax+4a（a＞0），抛物线在点A，B之间的部分与线段AB所围成的区域（不含边界）内恰好没有整点，

∴或，

解得，a＝1或0＜a≤，

即a的取值范围是0＜a≤或a＝1．