Question

10．已知m、n是方程x²+1997x+7=0的两实根，则（m²+1998m+6）（n²+1998n+6）=2005．

Answer 1

分析 先根据一元二次方程的解的定义得到m²+1997m+7=0，n²+1997n+7=0，则m²+1997m=-7，n²+1997n=-7，利用整体代入的方法可把（m²+1998m+6）（n²+1998n+6）化简为mn-（m+n）+1，再根据根与系数的关系得到m+n=-1997，mn=7，然后再利用整体代入的方法计算即可．

解答 解：∵m、n是方程x²+1997x+7=0的两实根，
∴m²+1997m+7=0，n²+1997n+7=0，
∴m²+1997m=-7，n²+1997n=-7，
∴（m²+1998m+6）（n²+1998n+6）=（-7+m+6）（-7+n+6）=mn-（m+n）+1，
∵m、n是方程x²+1997x+7=0的两实根，
∴m+n=-1997，mn=7，
∴（m²+1998m+6）（n²+1998n+6）=7+1997+1=2005．
故答案为2005．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了一元二次方程的解．