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【题目】如图1,已知抛物线轴交于A,B(点A在点B的右边),与轴交于点C.过A,C两点作直线P是抛物线上的动点,过PPD轴,垂足为D,交直线于点E.设点P的横坐标为.

(1)求直线的函数表达式;

(2)问是否存在点P,使O,E,C,P四点能构成平行四边形,若存在,请求出的值;若不存在,请说明理由.

(3)如图2,过A点作直线,连接OE,作△AOE的外接圆,交直线于点F,连接OF,EF.当△EOF的面积最小时,求点P的坐标和最小值.

【答案】(1)(2)存在(3)P( 2,6), 最小值为4

【解析】(1)将A,C的坐标代入函数解析式,解二元一次方程即可求出函数表达式;(2)由题意已知P、E的坐标,又由P作PD⊥x轴,要使O,E,C,P四点能构成平行四边形,只需PE=0C=4即可,可分当点P在直线的上(下)方求出m;(3)先证明△OEF为等腰直角三角形,求出S△OEF的面积,即可求出最小值.

解:(1)由题得:A(4,0), C(0,4)

设直线的表达式为 故得:

∴直线的表达式为:

(2)

答: 存在.

由题可知:

∵PD⊥轴 ∴PE∥

∴ 要使O,E,C,P四点能构成平行四边形只需PE=0C=4即可

可分以下两种情形:

(1)当点P在直线的上方()时

PE=

解得:

(2)当点P在直线的下方(

PE=

解得:

由上知:当时,存在点P,使O,E,C,P四点能构成平行四边形

先证明△OEF为等腰直角三角形

得出

当 OE⊥直线时,OE的长度最短

∴ P( 2,6), 最小值为4

“点睛”此题主要考查了二次函数的有关知识,是一道综合性较强的考题,主要考查学生数形结合的数学思想方法,以及分类讨论思想的应用,解题时应注意不要漏解.

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