Question

如图，P为⊙O外一点，PA、PB均为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：
（1）∠APB=2∠ABC；
（2）AC∥OP．

Answer 1

考点：切线的性质

专题：证明题

分析：（1）由切线长定理可知∠APB=2∠APO，所以只要证明∠ABC=∠APO即可；
（2）连接AB交PO于F，根据切线的性质得到PO垂直平分AB，再根据直径所对的圆周角是直角可得∠CAB=90°，于是∠CAB=∠OFB，所以AC∥OP．

解答：证明：（1）连接AO，
∵PA、PB均为⊙O的切线，A和B是切点，
∴∠APO=∠BPO，OA⊥AP，PA=PB，
∴∠APB=2∠APO，∠OAP=90°，PO⊥AB，
∴∠OAB+∠BAP=90°，∠BAP+∠APB=90°，
∴∠OAB=∠APB，
∵OA=OB，
∴∠OBA=∠OAB，
∴∠OBA=∠APO，
∴∠APB=2∠ABC；
（2）设AB交OP于F，
∵PA，PB是圆的切线，
∴PA=PB，
∵OA=OB
∴PO垂直平分AB．
∴∠OFB=90°．
∵BC是直径，
∴∠CAB=90°．
∴∠CAB=∠OFB．
∴AC∥OP．

点评：本题考查了切线的性质、圆周角定理：在圆中，直径所对的圆周角是直角．