Question

12．如图，△ABC内接于⊙O，直径AF平分∠BAC，交BC于点D．
（1）如图1，求证：AB=AC；
（2）如图2，延长BA到点E，连接ED、EC，ED交AC于点G，且ED=EC，求证：∠EGC=∠ECA+2∠ACB；
（3）如图3，在（2）的条件下，当BC是⊙O的直径时，取DC的中点M，连接AM并延长交圆于点N，且EG=5，连接CN并求CN的长．

Answer 1

分析 （1）连接BF、CF，根据角平分线和直径所对的圆周角是直角得：∠AFB=∠AFC，则所对的弧相等，弦相等；
（2）根据等腰三角形的性质：等边对等角得：∠EDC=∠ECD，再由外角定理得：∠EGC=∠ACB+∠EDC，等量代换可得结论；
（3）作辅助线，构建高线和中位线，①证明四边形AOHE是平行四边形，得AG=GH，EG=OG=5，
②设AG=x，则GH=x，OH=2x，分别计算AG，OH，AC，AO，AM的长；
③证明△AMC∽△ACN，列比例式可求得CN的长．

解答 证明：（1）如图1，连接BF、CF，
∵AF是⊙O的直径，
∴∠ABF=∠ACF=90°，
∵AF平分∠BAC，
∴∠BAF=∠CAF，
∴∠AFB=∠AFC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{AC}$，
∴AB=AC；
（2）如图2，∵ED=EC，
∴∠EDC=∠ECD，
∵∠EGC=∠ACB+∠EDC，
∴∠EGC=∠ACB+∠ECD=∠ACB+∠ACB+∠ECA=∠ECA+2∠ACB；
（3）如图3，连接EM，交AC于H，连接OH，
∵ED=EC，M是DC的中点，
∴EM⊥DC，
∴∠BME=90°，
∵BC为⊙O 的直径，
∴∠BAC=90°，
∵AB=AC，
∴∠B=45°，
∴△BME是等腰直角三角形，
∴∠BEM=45°，
∴△EAH是等腰直角三角形，
∴AE=AH，
∵AB=AC，OB=OC，
∴AO⊥BC，AO=OB=OC=$\frac{1}{2}$BC，
∵∠AOC=∠HMC=90°，
∴MH∥AO，
∵M是OC的中点，
∴H是AC的中点，
∴AH=CH=OH，OH⊥AC，
∴AE=OH，
∵∠EAH=∠AHO=90°，
∴AE∥OH，
∴四边形AOHE是平行四边形，
∴AG=GH，EG=OG=5，
设AG=x，则GH=x，OH=2x，
在Rt△OGH中，5²=x²+（2x）²，
x=$±\sqrt{5}$，
∴AG=GH=$\sqrt{5}$，OH=HC=2$\sqrt{5}$，AC=4$\sqrt{5}$，
∴AO=$\sqrt{A{H}^{2}+O{H}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{5}）^{2}+（2\sqrt{5}）^{2}}$=2$\sqrt{10}$，
∴OC=2$\sqrt{10}$，
∴MC=$\frac{1}{2}$OC=$\sqrt{10}$，
在Rt△AOM中，AM=$\sqrt{A{O}^{2}+O{M}^{2}}$=$\sqrt{（2\sqrt{10}）^{2}+（\sqrt{10}）^{2}}$=5$\sqrt{2}$，
∵∠N=∠B=45°，
∴∠N=∠ACB=45°，
∵∠NAC=∠MAC，
∴△AMC∽△ACN，
∴$\frac{MC}{CN}=\frac{AM}{AC}$，
∴$\frac{\sqrt{10}}{CN}=\frac{5\sqrt{2}}{4\sqrt{5}}$，
∴CN=4．

点评 本题是圆的综合题，考查了圆周角定理、等腰三角形、等腰直角三角形的性质和判定、平行四边形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、勾股定理、弦与弧与圆周角的关系等知识，前两问比较简单，第三问较复杂，需要构建辅助线，将已知的EG进行扩散，依次利用勾股定理及边的关系求相应线段的长，并将所求线段CN放在两个相似三角形中，列比例式解决问题．