Question

抛物线y=a（x-2）²的顶点A在x轴上，开口向上，与y轴相交于B点，OA=OB．
（1）求出B点的坐标；
（2）在抛物线上是否存在一点C，使△ABC是直角三角形？若存在，求出C点坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：（1）由y=a（x-2）²，得出顶点A的坐标为（2，0），根据OA=OB，得到B（0，2）；
（2）先将B（0，2）代入y=a（x-2）²，利用待定系数法求出抛物线的解析式，再分三种情况讨论：①若∠BAC=90°，则B、C关于抛物线的对称轴对称，由此求出即可；②若∠ABC=90°时，得出求出直线BC的解析式，和抛物线的解析式得出方程组，求出方程组的解即可；③若∠ACB=90°时，设C（n，k），根据勾股定理得出AC²+BC²=AB²，代入得到（n-2）²+k²+n²+（k-2）²=8，求出即可．

解答：解：（1）∵y=a（x-2）²，
∴顶点A的坐标为（2，0），
∵抛物线y=a（x-2）²开口向上，与y轴相交于B点，OA=OB，
∴B（0，2）；

（2）将B（0，2）代入y=a（x-2）²，
得2=4a，解得a=

1

2

，
∴y=

1

2

（x-2）²，即y=

1

2

x²-2x+2．
①若∠BAC=90°，
∵△AOB是等腰直角三角形，A为抛物线顶点，
∴∠BAO=45°，
∴B、C关于抛物线的对称轴对称，
∴C（4，2）；
②若∠ABC=90°时，
∵直线AB的解析式为y=-x+2，AB⊥BC，
∴可设直线BC的解析式为y=x+b，
将B（0，2）代入得：b=2，
∴y=x+2，
解方程组

y=x+2 y= 1 2 x2-2x+2

，
解得：

x1=0 y1=2

，

x2=6 y2=8

，
∴C（6，8）；
③若∠ACB=90°时，设C（n，k），
AC²+BC²=AB²，
即（n-2）²+k²+n²+（k-2）²=8，
n²-2n+k²-2k=0，
∵k=

1

2

n²-2n+2，
代入整理得

1

4

n⁴-2n³+6n²-6n=0，
求出n₁=0，n₂=2，
∴k₁=

1

2

n²-2n+2=2，k₁=

1

2

n²-2n+2=0，
均不符合题意舍去．
综合上述：存在，点C的坐标是（4，2）或（6，8）．

点评：本题考查了用待定系数法求出二次函数的解析式，直角三角形的性质和判定等知识点的应用，主要考查学生运用这些性质进行计算的能力，本题难度较大，对学生有较高的要求，进行分类讨论是解题的关键．