Question

如图，已知四边形ABCD为正方形，E，F为AB、CD的中点，AD=2，△AGF是由△ADF折叠而来的，连接GI，使得GI⊥AB．
（1）求GI的长；
（2）求△AIG的面积．

Answer 1

考点：正方形的性质,翻折变换（折叠问题）

专题：

分析：（1）根据翻折的性质可得∠DAF=∠GAF，根据两直线平行，内错角相等可得∠DAF=∠AFH，然后求出∠GAF=∠AFH，再根据等角对等边可得AH=HF，设AH=x，表示出EH，再利用勾股定理列出方程求出x，然后根据△AEH和△AIG相似，利用相似三角形对应边成比例列式计算即可得解；
（2）利用相似三角形对应边成比例列式求出AI，再根据三角形的面积公式列式计算即可得解．

解答：解：（1）∵△AGF是由△ADF折叠而来，
∴∠DAF=∠GAF，AG=AD，
∵E，F为AB、CD的中点，
∴EF=AD，AE=

1

2

×2=1，
∴∠DAF=∠AFH，
∴∠GAF=∠AFH，
∴AH=FH，
设AH=x，则EH=2-x，
在Rt△AEH中，AE²+EH²=AH²，
即1²+（2-x）²=x²，
解得x=

5

4

，
EH=2-

5

4

=

3

4

，
∵EF⊥AB，GI⊥AB，
∴EF∥GI，
∴△AEH∽△AIG，
∴

AH

AG

=

EH

GI

，
即

5 4

2

=

3 4

GI

，
解得GI=

6

5

；

（2）∵△AEH∽△AIG，
∴

AE

AI

=

AH

AG

，
即

1

AI

=

5 4

2

，
解得AI=

8

5

，
△AIG的面积=

1

2

×

6

5

×

8

5

=

24

25

．

点评：本题考查了正方形的性质，翻折变换的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，熟记翻折的性质并利用勾股定理列方程求出AH、EH的长是解题的关键．