已知:如图.抛物线y=ax2+bx+c经过X轴上的两点A(x1.0).B(x2.0)和y轴上的点C.⊙P的圆心P在y轴上.且经过B.C两点.若b=3a.AB=23.(1)①求抛物线的对称轴,②求A.B两点坐标,③求抛物线的解析式．(2)设D在抛物线上.且C.D两点关于抛物线的对称轴对称.①直接写出点D坐标,②求⊙P的半径R及P点坐标,③问直线BD是否经过圆心P.并说明理由．(3)设直线BD� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

已知：如图，抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）经过X轴上的两点A（x₁，0）、B（x₂，0）和y轴上的点C（0，-1.5），⊙P的圆心P在y轴上，且经过B、C两点，若b=

a，AB=2

，
（1）①求抛物线的对称轴；
②求A、B两点坐标；
③求抛物线的解析式．
（2）设D在抛物线上，且C、D两点关于抛物线的对称轴对称，
①直接写出点D坐标；
②求⊙P的半径R及P点坐标；
③问直线BD是否经过圆心P，并说明理由．
（3）设直线BD交⊙P于另一点E，过点E作EQ⊥BE交Y轴于Q，
①求E点坐标；
②求点Q的坐标．

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）①把已知坐标C代入求得c=-

，又b=

a，AB=2

，ax²+

ax-

=0，|x₁-x₂|=2

求得a，b的值，即求出对称轴；③由①求得的a，b，c即可得抛物线的解析式；②令y=0，解方程即可求得点A、B坐标．
（2）①根据对称得D点坐标；②根据B、D两点坐标可求直线BD的解析式，连接BP，设⊙P的半径为R，求出R，P的值即可；③把点P坐标代入直线BD，可得出直线BD经过点P．
（3）①过点E作EF⊥y轴于F，可求得△OPB≌△FPE，求出点E的坐标．②由PE²=PF•PQ，根据关系求解，求得点Q坐标．

解答：解：（1）①∵轴上的点C（0，-

），
∴c=-

，
又∵b=

a，AB=2

，令ax²+

ax-

=0，|x₁-x₂|=2

，
解得：a=

，b=

；
∴对称轴x=-

；
②由①得抛物线的解析式是：y=

x2+

．
令y=0，

x2+

=0，
解得x₁=-

，x₂=

，
∴A（-

，0），B（

，0）；
③由②已得抛物线的解析式是：y=

x2+

．

（2）①D（-

，-

），
②设直线BD为：y=kx+b，
由点B（

，0）和点D（-

，-

），可得
直线BD为：y=

，
连接BP，设⊙P的半径为R，在Rt△BOP中，根据勾股定理，得
R2=(

)2+(

-R)2，
∴R=1，P（0，-

），
③∵点P（0，-

）的坐标满足直线BD的解析式y=

．
∴直线BD经过圆心P．

（3）①由（2）知，P点为BE的中点，EP=BP，
过点E作EF⊥y轴于F，
∴∠EFP=∠BOP=90°，∠EPF=∠BPO
得△OPB≌△FPE（AAS），
∴OB=EF=

，OF=2OP=-1，
∴E（-

，-1），
②设经过E点⊙P的切线L交y轴于点Q．
则∠PEQ=90°，EF⊥PQ，
∴PE²=PF•PQ，
∵PE=1，PF=

，
∴PQ=2，
OQ=PQ+OQ=2+0.5=2.5，
∴Q（0，-2.5）．

点评：本题是二次函数和圆的综合题，考查知识点较多，熟练掌握相关知识是解题的关键，求点的坐标是本题的重点和难点．

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