Question

已知x、y、z互不相等，x+

2

y

=y+

2

z

=z+

2

x

=k，求k的值．

Answer 1

考点：比例的性质

专题：

分析：先由x+

2

y

=k，z+

2

x

=k得出用含k、x的代数式分别表示y、z的式子，再代入y+

2

z

=k，整理得出（k²-2）x²+（2k-k³）x+2k²-4=0，由题意得出x有唯一解，即（2k-k³）²-4（k²-2）（2k²-4）=0，进而求出k的值．

解答：解：∵x+

2

y

=k，z+

2

x

=k，
∴y=

2

k-x

，z=k-

2

x

，
又∵y+

2

z

=k，
∴

2

k-x

+

2

k- 2 x

=k，
整理得：（k²-2）x²+（2k-k³）x+2k²-4=0，
又∵x、y、z互不相等，由题可看出可互换，
∴x有唯一解，即（2k-k³）²-4（k²-2）（2k²-4）=0，
解得k²=2或8，
∴k=±

2

或±2

2

．

点评：本题考查了比例的性质，有一定难度．得出方程（k²-2）x²+（2k-k³）x+2k²-4=0是解题的关键．