Question

8．如图，已知在△ABC中，∠C=90°，AC＜BC，D为BC上一点，且到A、B两点的距离相等．
（1）用直尺和圆规，作出点D的位置（不写作法，保留作图痕迹）；
（2）连结AD，
①若∠B=37°，求∠CAD的度数；
②若AC=9，BC=12，求CD的长．

Answer 1

分析 （1）作AB的垂直平分线交BC于D，则DA=DB；
（2）①由DA=DB得∠DAB=∠B=37°，则利用三角形外角性质得∠ADC=74°，然后利用互余计算∠ACD的度数；
②设CD=x，则BD=AD=12-x，利用勾股定理得9²+x²=（12-x）²，然后解方程求出x即可．

解答 解：（1）如图，点D为所作；

（2）①∵DA=DB，
∴∠DAB=∠B=37°，
∴∠ADC=37°+37°=74°，
∴∠ACD=90°-74°=16°；
②设CD=x，则BD=AD=12-x，
在Rt△ACD中，∵AC²+CD²=AD²，
∴9²+x²=（12-x）²，解得x=$\frac{21}{8}$，
即CD的长为$\frac{21}{8}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了线段垂直平分线的性质．