【题目】已知二次函数y=x2﹣(2k+1)x+k2+k(k>0)
(1)当k= 时,求这个二次函数的顶点坐标;
(2)求证:关于x的一元次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=0有两个不相等的实数根;
(3)如图,该二次函数与x轴交于A、B两点(A点在B点的左侧),与y轴交于C点,P是y轴负半轴上一点,且OP=1,直线AP交BC于点Q,求证: .
【答案】
(1)
解:将k= 代入二次函数可求得,
y=x2﹣2x+
=(x﹣1)2﹣ ,
故抛物线的顶点坐标为:(1,﹣ )
(2)
解:∵一元次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=0,
∴△=b2﹣4ac=[﹣(2k+1)]2﹣4(k2+k)=1>0,
∴关于x的一元次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=0有两个不相等的实数根
(3)
解:由题意可得:点P的坐标为(0,﹣1),
则0=x2﹣(2k+1)x+k2+k
0=(x﹣k﹣1)(x﹣k),
故A(k,0),B(k+1,0),
当x=0,则y=k2+k,
故C(0,k2+k)
则AB=k+1﹣k=1,OA=k,
可得
,
yBC=﹣kx+k2+k,
当 x﹣1=﹣kx+k2+k,
解得:x=k+ ,
则代入原式可得:y= ,
则点Q坐标为
运用距离公式得:AQ2=( )2+( )2= ,
则OA2=k2,AB2=1,
故 +1= = ,
则 .
【解析】(1)直接将k的值代入函数解析式,进而利用配方法求出顶点坐标;(2)利用根的判别式得出△=1,进而得出答案;(3)根据题意首先表示出Q点坐标,以及表示出OA,AB的长,再利用两点之间距离求出AQ的长,进而求出答案.此题主要考查了二次函数综合以及根的判别式和配方法求二次函数顶点坐标和两点之间距离求法等知识,正确表示出Q点坐标是解题关键.
【考点精析】根据题目的已知条件,利用求根公式和两点间的距离的相关知识可以得到问题的答案,需要掌握根的判别式△=b2-4ac,这里可以分为3种情况:1、当△>0时,一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时,一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时,一元二次方程没有实数根;同轴两点求距离,大减小数就为之.与轴等距两个点,间距求法亦如此.平面任意两个点,横纵标差先求值.差方相加开平方,距离公式要牢记.
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【题目】如图:已知在△ABC中,AB=AC,D为BC边的中点,过点D作DE⊥AB,DF⊥AC,,垂足分别为E,F.
(1)求证:△BED≌△CFD;
(2)若∠A=90°,求证:四边形DFAE是正方形.
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【题目】已知,在△ABC中,∠ABC=90,点O为△ABC的三条角平分线的交点,OD⊥BC,OE⊥AC,OF⊥AB,点D.E.F是垂足,且AB=17,BC=15,则OF、OE、OD的长度分别是( )
A. 2,2,2 B. 3,3,3 C. 4,4,4 D. 5,5,5
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【题目】某社区从2011年开始,组织全民健身活动,结合社区条件,开展了广场舞、太极拳、羽毛球和跑步四个活动项目,现将参加项目活动总人数进行统计,并绘制成每年参加总人数折线统计图和2015年各活动项目参与人数的扇形统计图,请你根据统计图解答下列题
(1)2015年比2011年增加人;
(2)请根据扇形统计图求出2015年参与跑步项目的人数;
(3)组织者预计2016年参与人员人数将比2015年的人数增加15%,名各活动项目参与人数的百分比与2016年相同,请根据以上统计结果,估计2016年参加太极拳的人数.
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【题目】如图,在正方形网格中,每个小正方形的边长都是1,每个小正方形的顶点叫做格点.网格中有一个格点△ABC(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中作出△ABC关于直线l对称的△A1B1C1 (要求A与A1,B与B1,C与C1相对应);
(2)求△ABC的面积;
(3)在直线l上找一点P,使得△PAC的周长最小.
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【题目】【问题情境】
课外兴趣小组活动时,老师提出了如下问题:
如图①,△ABC中,若AB=12,AC=8,求BC边上的中线AD的取值范围.
小明在组内经过合作交流,得到了如下的解决方法:延长AD至点E,使DE=AD,连接BE.请根据小明的方法思考:
(1)由已知和作图能得到△ADC≌△EDB,依据是 .
A.SSS B.SAS C.AAS D.HL
(2)由“三角形的三边关系”可求得AD的取值范围是 .
解后反思:题目中出现“中点”、“中线”等条件,可考虑延长中线构造全等三角形,把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中.
【初步运用】
如图②,AD是△ABC的中线,BE交AC于E,交AD于F,且AE=EF.若EF=3,EC=2,求线段BF的长.
【灵活运用】
如图③,在△ABC中, ∠A=90°,D为BC中点, DE⊥DF,DE交AB于点E,DF交AC于点F,连接EF.试猜想线段BE、CF、EF三者之间的等量关系,并证明你的结论.
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【题目】如图,△ABC为等腰三角形,AB=AC,∠D=∠E,∠BAD=∠CAE.
(1)写出一对全等的三角形:△ ≌△ ;
(2)证明(1)中的结论;
(3)求证:点G为BC的中点.
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【题目】如图四边形ABCD中,AD∥BC,∠BCD=90°,∠BAD的平分线AG交BC于点G.
(1)求证:∠BAG=∠BGA;
(2)如图2,∠BCD的平分线CE交AD于点E,与射线GA相交于点F,∠B=50°.
①若点E在线段AD上,求∠AFC的度数;
②若点E在DA的延长线上,直接写出∠AFC的度数;
(3)如图3,点P在线段AG上,∠ABP=2∠PBG,CH∥AG,在直线AG上取一点M,使∠PBM=∠DCH,请直接写出∠ABM:∠PBM的值.
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