Question

12．如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，过A，D两点的⊙O交AC于E，弦EF∥BC．
（1）求证：AD=EF；
（2）若O在AC边上，且⊙O与BC边相切，当EF=2时，求$\widehat{EF}$的长．

Answer 1

分析 （1）连接DF，根据直角三角形斜边中线的性质得出AD=CD，得出∠DAC=∠C，根据圆周角定理得出∠DFE=∠DAC，即可得出∠DFE=∠C，根据平行线的性质和判定即可证得FD∥EC，得出四边形EFDC是平行四边形，即可证得结论；
（2）连接OF，DE，根据直角三角形斜边中线的性质和切线的性质得出∠DAC=∠C=∠EDC，根据圆周角定理得出∠ADE=90°，根据三角形内角和定理求得∠C=30°，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得出∠EOF=120°，解直角三角形求得半径的长，然后根据弧长公式即可求得．

解答 （1）证明：如图1，连接DF，
∵AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，
∴AD=DC，
∴∠DAC=∠C，
∵∠DFE=∠DAC，
∴∠DFE=∠C，
∵EF∥BC，
∴∠CEF+∠C=180°，
∴∠DFE+∠CEF=180°，
∴FD∥EC，
∴四边形EFDC是平行四边形，
∴EF=DC，
∴AD=EF．
（2）解：如图2，连接OF，DE，
∵AD是Rt△ABC斜边BC上的中线，
∴AD=DC，
∴∠DAC=∠C，
∵⊙O与BC边相切，
∴∠EDC=∠DAC，
∴∠EDC=∠C，
∵AE是直径，
∴∠ADE=90°，
∵∠ADC+∠DAC+∠C=180°，
∴90°+3∠C=180°，
∴∠C=30°，
∵EF∥BC，
∴∠OEF=∠C=30°，
∴OE=$\frac{\frac{1}{2}EF}{cos30°}$=$\frac{1}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
∵OE=OF，
∴∠OFE=∠OEF=30°，
∴∠EOF=120°，
∴$\widehat{EF}$的长=$\frac{120π×\frac{2\sqrt{3}}{3}}{180}$=$\frac{4\sqrt{3}}{9}$π．

点评 本题考查了切线的性质，直角三角形斜边中线的性质，平行四边形的判定和性质以及三角形内角和定理，熟练掌握性质定理是解题的关键．