Question

【题目】如图1，在平面直角坐标系中点A、B在坐标轴上，其中A（0，a），B（b，0），满足|a﹣3|+＝0．

（1）求点A、B的坐标；

（2）将AB平移到CD，点A对应点C（﹣2，m），若△ABC面积为13，连接CO，求点C的坐标；

（3）在（2）的条件下，求证：∠AOC＝∠OAB+∠OCD；

（4）如图2，若AB∥CD，点C、D也在坐标轴上，点F为线段AB上一动点（不包含A、B两点），连接OF，FP平分∠BFO，∠BCP＝2∠PCD，试证明：∠COF＝3∠P﹣∠OFP（提示：可直接利用（3）的结论）．

Answer 1

【答案】（1）A（0，3），B（4，0）；（2）C（﹣2，﹣2）；（3）详见解析；（4）详见解析．

【解析】

（1）利用非负数的性质求解即可．

（2）如图1中，分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点M，过点C作CN⊥AM于N．根据S△ABC＝S四边形MNCB﹣S△ABM﹣S△ACN构建方程求解即可．

（3）利用平行线的性质，三角形的外角的性质求解即可．

（4）如图2中，延长AB交CP的延长线于M．首先证明∠BCD＝3（∠CPF﹣∠OFP），再利用结论∠FOC＝∠OFB+∠BCD，求解即可．

解：（1）∵|a﹣3|+＝0，

又∵|a﹣3|≥0，≥0，

∴a＝3，b＝4，

∴A（0，3），B（4，0）．

（2）如图1中，分别过点B，A作x轴，y轴的垂线交于点M，过点C作CN⊥AM于N．

∵S△ABC＝S四边形MNCB﹣S△ABM﹣S△ACN，

∴13＝（3+3﹣m）（4+2）﹣×2×（3﹣m）﹣×3×4，

解得：m＝﹣2，

∴C（﹣2，﹣2）．

（3）如图1中，设CD交y轴于T．

∵AB∥CD，

∠BAO＝∠ATO，

∵∠AOC＝∠OCD+∠CTO，

∴∠AOC＝∠OCD+∠BAO．

（4）如图2中，延长AB交CP的延长线于M．

∵AM∥CD，

∴∠DCM＝∠M，

∵∠BCP＝2∠PCD，

∴∠BCD＝3∠DCM＝3∠M，

∵∠M＝∠FPC﹣∠MFP，∠MFP＝∠OFP，

∴∠BCD＝3（∠CPF﹣∠OFP），

∵∠FOC＝∠OFB+∠BCD，

∴∠FOC＝2∠OFP+3∠CPF﹣3∠OFP，

∴∠FOC＝3∠CPF﹣∠OFP．