【题目】如图,四边形为的内接四边形,,平分,,,则的内心与外心之间的距离为________.
【答案】
【解析】
作DF⊥BA于F,连接AD,DC.只要证明△DFA≌△DEC(ASA),推出AF=CE,Rt△BDF≌Rt△BDE(HL),推出AF=BE得到四边形BEDF是正方形,BD是对角线,作△ABC的内切圆,圆心为M,N为切点,连接MN,OM.由切线长定理可知:AN=4,推出ON=5-4=1,由面积法可知内切圆半径为2,在Rt△OMN中,理由勾股定理即可解决问题.
作DF⊥BA于F,连接AD,DC.
∵BD平分∠ABC,DE⊥BC,DF⊥BA,
∴DF=DE,∠DFB=∠DEB=90°,
∵∠ABC+∠ADC=180°,∠ABC+∠EDF=180°,
∴∠ADC=∠EDF,
∴∠FDA=∠CDE,
∵∠DFA=∠DEC=90°,
∴△DFA≌△DEC(ASA),
∴AF=CE,
∵BD=BD,DF=DE,
∴Rt△BDF≌Rt△BDE(HL),
∴BF=BE,
∴四边形BEDF是正方形,BD是对角线,
∵BD=7,
∴正方形BEDF的边长为7,
由(2)可知:BC=2BE-AB=8,
∴AC==10,
作△ABC的内切圆,圆心为M,N为切点,连接MN,OM.
由切线长定理可知:AN==4,
∴ON=5-4=1,
由面积法可知内切圆半径为2,
在Rt△OMN中,OM=.
∴△ABC的内心与外心之间的距离为,
故答案为.
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【题目】如图,矩形ABCD的顶点A、B在x轴的正半轴上,反比例函数y=(k≠0)在第一象限内的图象经过点D,交BC于点E.若AB=4,CE=2BE,tan∠AOD=,则k的值_____.
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【题目】如图,在△ABC中,AB=AC,∠ABC=72°.
(1)用直尺和圆规作∠ABC的平分线BD交AC于点D(保留作图痕迹,不要求写作法);
(2)在(1)中作出∠ABC的平分线BD后,求∠BDC的度数.
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【题目】小明和小亮分别从甲地和乙地同时出发,沿同一条路相向而行,小明开始跑步,中途改为步行,到达乙地恰好用小亮骑自行车以的速度直接到甲地,两人离甲地的路程与各自离开出发地的时间之间的函数图象如图所示,
甲、乙两地之间的路程为______m,小明步行的速度为______;
求小亮离甲地的路程y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
求两人相遇的时间.
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【题目】某校在七年级、八年级开展了阅读文学名著知识竞赛.该校七、八年级各有学生400人,各随机抽取20名学生进行了抽样调查,获得了他们知识竞赛成绩(单位:分),并对数据进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息.
a.七年级学生知识竞赛成绩的平均数、中位数、众数、优秀率(80分及以上)如下表所示:
年级 | 平均数 | 中位数 | 众数 | 优秀率 |
七年级 | 84. 2 | 77 | 74 | 45﹪ |
b.八年级学生知识竞赛成绩的扇形统计图如下(数据分为5组,A:50≤x≤59; B:60≤x≤69;C:70≤x≤79;D:80≤x≤89;E:90≤x≤100)
c.八年级学生知识竞赛成绩在D组的是:87 88 88 88 89 89 89 89
根据以上信息,回答下列问题:
(1)八年级学生知识竞赛成绩的中位数是 分;
(2)请你估计该校七、八年级所有学生中达到“优秀”的有多少人?
(3)下列结论:①八年级成绩的众数是89分;②八年级成绩的平均数可能为86分;③八年级成绩的极差可能为50分.其中所有正确结论的序号是 .
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【题目】
如图,直角梯形ABCD中,AB∥DC,,,.动点M以每秒1个单位长的速度,从点A沿线段AB向点B运动;同时点P以相同的速度,从点C沿折线C-D-A向点A运动.当点M到达点B时,两点同时停止运动.过点M作直线l∥AD,与线段CD的交点为E,与折线A-C-B的交点为Q.点M运动的时间为t(秒).
(1)当时,求线段的长;
(2)当0<t<2时,如果以C、P、Q为顶点的三角形为直角三角形,求t的值;
(3)当t>2时,连接PQ交线段AC于点R.请探究是否为定值,若是,试求这个定值;若不是,请说明理由.
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