Question

已知在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=3，AC=4，P、Q分别为边AB、AC上一点，PQ∥BC，M为斜边BC上的一点，若△MPQ为等腰直角三角形，则PQ的长度为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：作ME⊥AC，MF⊥AB，易证△QME≌△PMF，即可求得AE的长，再根据PQ∥BC，可以求得AQ和AP的长，根据勾股定理即可求得PQ的长．

解答：解：作ME⊥AC，MF⊥AB，

∵∠QME+∠EMP=90°，∠EMP+∠PMF=90°，
∴∠QME=∠PMF，
在△QME和△PMF中，

∠QEM=∠PFM ∠QME=∠PMF QM=PM

，
∴△QME≌△PMF（AAS），
∴EM=FM，即AE=AF，
设AE=x，则

CE

AC

=

EM

AB

，即

3-x

3

=

x

4

，
解得：x=

12

7

，
∵PQ∥BC，∴

AQ

AC

=

AP

AB

，整理得：

AQ

AP

=

4

3

，
∴

AE+EQ

AF-AP

=

4

3

，
解得：EQ=

12

49

，
∴AQ=AE+EQ=

96

49

，AP=AF-PF=

72

49

，
∴PQ=

AQ2+AP2

=

120

49

．
故答案为

120

49

．

点评：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应边相等的性质，考查了勾股定理的运用，本题中求证△QME≌△PMF是解题的关键．