Question

【题目】如图，在矩形中，，，点沿边从点向点以的速度移动；同时，点从点沿边向点以的速度移动，设点、移动的时间为．问：

当为何值时的面积等于？

当为何值时是直角三角形？

是否存在的值，使的面积最小，若存在，求此时的值及此时的面积；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）当或时，的面积等于；（2）当的值为秒或秒或秒时，是直角三角形；（3）存在，当时，有最小值．

【解析】

（1）根据，，，△PBQ的面积等于8cm2，列出关于t的方程进行求解即可；
（2）根据∠PDQ<90°，需要分两种情况进行讨论：∠DPQ=90°或∠PQD=90°，分别求得t的值即可；
（3）根据AP=t，QB=2t，PB=6-t，可得S△DPQ=S梯形ABQD-S△APD-S△BPQ=，最后根据二次函数的性质，求得当t=3时，S△DPQ有最小值27．

解：由题意得，，．

∵的面积等于，

∴，

∴解得或，

又∵，

∴当或时，的面积等于．

当时，点，分别与点，重合，

此时，，是直角三角形；

当时，，，

∴，

∴，即，

∴，

解得：或，

故当时，是直角三角形；当时，点到达点、点到达点，此时，即是直角三角形．

综上所述，当的值为秒或秒或秒时，是直角三角形；

存在的值，使的面积最小．

由题意得，，，

∴

，

，

，

又∵，

∴当时，有最小值．