Question

4．观察下列各式：1³=1=$\frac{1}{4}×{1^2}×{2^2}$；1³+2³=9=$\frac{1}{4}×{2^2}×{3^2}$；1³+2³+3³=36=$\frac{1}{4}×{3^2}×{4^{{2^{\;}}}}$；1³+2³+3³+4³=100=$\frac{1}{4}×{4^2}×{5^2}$…
回答下面的问题：
（1）1³+2³+3³+4³+…+10³=$\frac{1}{4}$×10²×11²（写出算式即可）；
（2）计算1³+2³+3³+…+99³+100³的值；
（3）计算：11³+12³+…+99³+100³的值．

Answer 1

分析 （1）（2）由题意可知：从1开始连续自然数的立方和，等于最后一个自然数的平方乘这个自然数加1的平方的$\frac{1}{4}$，由此规律计算得出答案即可；
（3）由（2）的结果减去（1）的结果即可．

解答 解：（1）1³+2³+3³+4³+…+10³=$\frac{1}{4}$×10²×11²；
（2）1³+2³+3³+…+99³+100³
=$\frac{1}{4}$×100²×101²
=25502500；
（3）$\frac{1}{4}$×100²×101²-$\frac{1}{4}$×10²×11²
=25502500-3025
=25499475．

点评 此题考查数字的变化规律，抓住数字特点，找出数字之间的运算规律，利用规律解决问题．