Question

7．如图，已知抛物线y=a₁x²+c经过点B₁（1，$\frac{1}{3}$），B₂（2，$\frac{7}{12}$）．在该抛物线上取点B₃（3，y₃），B4（4，y₄）…B_n（n，y_n）在x轴上依次取点A₁，A₂，…，An，使△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃…分别是以∠B₁，∠B₂，…，∠Bn为顶角的等腰三角形，设A₁的横坐标为t（0＜t＜1）．则
（1）该抛物线的表式y=$\frac{1}{12}$x²+$\frac{1}{4}$；
（2）S${\;}_{△{A}_{100}{B}_{100}{C}_{101}}$=$\frac{10003}{12}$t；（用t的代数式表示）
（3）在这些等腰三角形中若有直角三角形，t=$\frac{2}{3}$或$\frac{7}{12}$．

Answer 1

分析 （1）把点B₁（1，$\frac{1}{3}$），B₂（2，$\frac{7}{12}$）代入抛物线解析式得到关于a、c的二元一次方程组，解方程组求出a、c的值，即可得解；
（2）根据点A₁的坐标利用等腰三角形三线合一的性质分别求出A₂、A₃的坐标，然后求出A₁A₂、A₂A₃的长度，再根据三角形的面积公式列式计算即可求出S₁、S₂，依此类推求出求出A₃A₄、A₄A₅的长度，然后得出规律并表示出A₁₀₀A₁₀₁的长度，再把x=100代入抛物线解析式求出y₁₀₀，然后根据三角形的面积公式列式计算即可得解；
（3）按照从左到右的顺序，依次令三角形为等腰直角三角形，然后根据等腰直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半列式求解得到t的值，再根据t的取值范围进行判断．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+c经过点B₁（1，$\frac{1}{3}$），B₂（2，$\frac{7}{12}$），
∴$\left\{\begin{array}{l}a+c=\frac{1}{3}\\ 4a+c=\frac{7}{12}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{1}{12}\\ c=\frac{1}{4}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=$\frac{1}{12}$x²+$\frac{1}{4}$．
故答案为：y=$\frac{1}{12}$x²+$\frac{1}{4}$；

（2）∵A₁的横坐标为t，△A₁B₁A₂，△A₂B₂A₃，△A₃B₃A₄是等腰三角形，
∴A₂（2-t，0），A₃（2+t，0），
∴A₁A₂=（2-t）-t=2-2t，A₂A₃=（2+t）-（2-t）=2t，
∴S₁=$\frac{1}{2}$×（2-2t）×$\frac{1}{3}$=$\frac{1-t}{3}$，S₂=$\frac{1}{2}$×2t×$\frac{7}{12}$=$\frac{7}{12}$t，
依此类推，A₄（4-t，0），A₅（4+t，0），A₆（6-t，0），A₇（6+t，0），…，
∴A₃A₄=（4-t）-（2+t）=2-2t，A₄A₅=（4+t）-（4-t）=2t，
A₅A₆=（6-t）-（4+t）=2-2t，A₆A₇=（6+t）-（6-t）=2t，…，
A₁₀₀A₁₀₁=2t，
又∵y₁₀₀=$\frac{1}{12}$×100²+$\frac{1}{4}$=$\frac{10003}{12}$；
∴S${\;}_{△{A}_{100}{B}_{100}{C}_{101}}$=$\frac{1}{2}$×2t•$\frac{10003}{12}$=$\frac{10003}{12}$t．
故答案为：$\frac{10003}{12}$t；

（3）存在．
理由如下：若△A₁B₁A₂为等腰直角三角形，则A₁A₂=2-2t=2×$\frac{1}{3}$，
解得t=$\frac{2}{3}$，
若△A₂B₂A₃为等腰直角三角形，则A₂A₃=2t=2×$\frac{7}{12}$，
解得t=$\frac{7}{12}$，
若△A₃B₃A₄为等腰直角三角形，则A₃A₄=2-2t=2（$\frac{{3}^{2}}{12}$+$\frac{1}{4}$），
解得t=0，依次向右，t逐渐变小，
∵0＜t＜1，
∴t的值为$\frac{2}{3}$，$\frac{7}{12}$时，所有等腰三角形中存在直角三角形．
故答案为：$\frac{2}{3}$或$\frac{7}{12}$．

点评 本题是二次函数的综合题型，主要涉及待定系数法求二次函数解析式，等腰三角形三线合一的性质，以及规律探寻，（2）中求出等腰三角形底边的变化规律是解题的关键．