Question

如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB为直径，过点O作OM∥BC，交AC于点M．

（1）求∠AMO；

（2）延长OM交⊙O于点E，过E作⊙O的切线，交BC延长线于点F，连接FM，并延长FM交AB于点G．

①试判断四边形CFEM的形状，并说明理由；

②若AG=2，CM=3，求四边形CFEM的面积．

　

Answer 1

【考点】圆的综合题．

【分析】（1）根据两直线平行同位角相等即可解决问题．

（2）①先证明四边形CFEM是平行四边形，再证明有一个角为90°即可．

②连接AE，只要证明OG=OM，即可得到EM=AG，即可解决问题．

【解答】解：（1）∵AB为直径，

∴∠BCA=90°，

∵OM∥BC，

∴∠AMO=∠BCA=90°．

（2）①四边形CMEF为矩形，理由如下：

∵EF与⊙O相切于点E，

∴∠OEF=90°，

∵∠OMA=∠OMC=∠OEF=90°，

∴EF∥MC，

∵OM∥BC，

∴EM∥FC，

∴四边形CMEF为平行四边形，

∵∠OEF=90°，

∴四边形CMEF为矩形．

②解：连接AE，

∵O为AB的中点，OM∥BC

∴M为AC的中点，即有CM=AM，

∵四边形CMEF是矩形，

∴AM=CM=EF，

又∵AC∥EF，

∴AMFE为平行四边形，

∴FM∥AE，即GM∥AE，

∴∠OMG=∠OEA，∠OGM=∠OAE

∵OE=OA

∴∠OEA=∠OAE，

∴∠OMG=∠OGM，

∴OM=OG

∵OE=OM+ME=OA=OG+GA，

∴ME=GA=2，

∴矩形CMEF的面积为：CM×ME=3×2=6．

【点评】本题考查圆的有关知识、等腰三角形的判定好性质、矩形的判定和性质、平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是平行四边形AEFM的发现，需要灵活应用这些知识，属于中考常考题型．