Question

3．如图，抛物线y=x²+bx-c和x轴交于A，C两点，和y轴交于B点，抛物线的顶点为D，OA=OB=3．
（1）求此抛物线的解析式、顶点D的坐标和对称轴；
（2）点P为x轴下方抛物线上的一个点，求使S_△ACP=S_△AOD的点P的坐标．

Answer 1

分析 （1）∵OA=OB=3，则A（3，0），B（0，-3），代入抛物线y=x²+bx-c中可求抛物线解析式；
（2）根据所求抛物线解析式，可求抛物线的顶点D（1，-4），与x轴的另一个交点C（-1，0），设P（a，a²-2a-3），可计算S_△ACP和S_△AOD，根据等量关系求a，从而确定P点坐标．

解答 解：（1）由题意可知点A（3，0），B（0，-3），
则$\left\{\begin{array}{l}{9+3b-c=0}\\{-c=-3}\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$
∴此抛物线的解析式为y=x²-2x-3；
∵y=x²-2x-3=（x-1）²-4，
∴抛物线的顶点D（1，-4），对称轴为直线x=1；
（2）令y=0，则x²-2x-3=0，
解得x₁=-1，x₂=3，
∴抛物线与x轴的另一个交点C（-1，0）．
设P（a，a²-2a-3），
则$\frac{1}{2}$×4×|a²-2a-3|=$\frac{1}{2}$×3×4．
化简得|a²-2a-3|=3．
又因为点P在x轴的下方，
所以a²-2a-3=-3，
得a=0或a=2．
∴P（0，-3）或P（2，-3）．
综上所述，满足条件的点的坐标为P（0，-3）或P（2，-3）．

点评 本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，抛物线的顶点和三角形的面积求法．熟练掌握待定系数法是解题的关键．