Question

13．E是正方形ABCD中CD边上的任意一点．
（1）以点A为中心，把△ADE顺时针旋转90°，画出旋转后的图形；
（2）在BC边上画一点F，使△CFE的周长等于正方形ABCD周长的一半，请简要说明你取该点的理由；
（3）如图，将射线AE绕点A顺时针旋转45°交对角线BD于点Q，交BC于点G，AE与BD交于点P，线段BQ、PQ、PD有何数量关系？证明你的结论．

Answer 1

分析 （1）过点A作AE'⊥AE交CB的延长线于点E'，则△ABE'就是旋转后的图形，直接作图即可；
（2）作∠EAE′的平分线交BC于点F，可证EF=BF+DE，则△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半；
（3）作BM⊥BD，BM=PD，连AM，依次证明△ADP≌△ABM，△MAQ≌△PAQ，得出△MBQ是直角三角形，结论显然．

解答 解：（1）如图1所示：△ABE′即为所求；

（2）作∠EAE′的平分线交BC于点F，则△CFE的周长等于正方形ABCD的周长的一半，如图2，

在△AEF和△AE′F中：
∵AE=AE′，
∠EAF=∠E′AF，
AF=AF，
∴△AEF≌△AE′F（SAS），
∴EF=E′F=BF+DE，
∴EF+EC+FC=BC+CD．
（3）作BM⊥BD，BM=PD，连AM，如图3，

易证△ADP≌△ABM（SAS），
∴AM=AP，∠BAM=∠DAP，∠MBA=∠PDA=45°，
∵∠PAQ=45°，
∴∠DAP+∠BAQ=∠BAM+∠BAQ=45°，
即∠MAQ=45°，
易证△MAQ≌△PAQ（SAS），
∴MQ=PQ，
∵∠MBQ=∠MBA+∠ABD=90°，
∴MQ²=BM²+BQ²，
∴PQ²=PD²+BQ²．

点评 本题考查了旋转变换、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，难度中等．本题是经典“大角夹半角”模型，高频考点，务必掌握．