Question

1．如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，连结AD₁、BC₁．已知∠ACB=30°，AB=1，CC₁=x，△ACD与△A₁C₁D₁重叠部分的面积为y．
（1）求证：△A₁AD₁≌△CC₁B；
（2）当x=1时，求证：四边形ABC₁D₁是菱形；
（3）求y关于x的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）由矩形的性质及平移的性质易得∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁，结论显然；
（2）由所给条件可证明△AC₁B是等边三角形，ABC₁D₁自然是菱形；
（3）由△AC₁F∽△ACD可得面积之比等于相似比的平方，利用这一等量关系列出等式，变形即得所求关系式．

解答 解：（1）如图1，

∵四边形ABCD为矩形，
∴BC=AD，BC∥AD，
∴∠DAC=∠ACB，
∵把△ACD沿CA方向平移得到△A₁C₁D₁，
∴∠A₁=∠DAC，A₁D₁=AD，AA₁=CC₁，
在△A₁AD₁与△CC₁B中，$\left\{\begin{array}{l}{A{A}_{1}=C{C}_{1}}\\{∠{A}_{1}=∠ACB}\\{{A}_{1}{D}_{1}=CB}\end{array}\right.$，
∴△A₁AD≌△CC₁B；
（2）如图2，

∵∠ACB=30°，
∴∠CAB=60°，
∵AB=1，
∴AC=2，
∵x=1，
∴AC₁=1，
∴△AC₁B是等边三角形，
∴AB=D₁C₁，
又AB∥BC₁，
∴四边形ABC₁D₁是菱形；
（3）如图3，

∵C₁D₁∥CD，
∴△AC₁F∽△ACD，
∴$\frac{{S}_{△A{C}_{1}F}}{{S}_{△ACD}}=（\frac{2-x}{2}）^{2}$，
解得：$y=\frac{\sqrt{3}}{8}（2-x）^{2}$．

点评 本题考查了矩形的性质、平移变换、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、菱形的判定、相似三角形的判定与性质等知识点，综合性较强，难度中等．清楚矩形、菱形等基本几何图形的性质以及平移变换的特征是解决本题的关键．