Question

【题目】如图①，将抛物线y＝ax2（﹣1＜a＜0）平移到顶点恰好落在直线y＝x﹣3上，并设此时抛物线顶点的横坐标为m．

（1）求抛物线的解析式（用含a、m的代数式表示）

（2）如图②，Rt△ABC与抛物线交于A、D、C三点，∠B＝90°，AB∥x轴，AD＝2，BD：BC＝1：2．

①求△ADC的面积（用含a的代数式表示）

②若△ADC的面积为1，当2m﹣1≤x≤2m+1时，y的最大值为﹣3，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝ax2﹣2amx+am2+m﹣3；（2）①﹣；②0或

【解析】

（1）抛物线的顶点在直线y＝x﹣3上，横坐标为m，则顶点的坐标为（m，m﹣3），即可求解；

（2）①求出点C坐标（m+1+t，a+m﹣3﹣2t），利用点C在抛物线上，则：a+m﹣3﹣2t＝a（m+t+1﹣m）2+m﹣3，求得：t＝﹣，利用S△ADC＝ADCB即可求解；②分m＞2m+1、2m﹣1≤m≤2m+1、m＜2m+1三种情况，求解即可．

解：（1）抛物线的顶点在直线y＝x﹣3上，横坐标为m，

则顶点的坐标为（m，m﹣3），

则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣m）2+m﹣3＝ax2﹣2amx+am2+m﹣3；

（2）①如图所示，AB∥x轴，AD＝2，

∴点D（m+1，a+m﹣3），

设：BD＝t，

∵BD：BC＝1：2，则BC＝2t，

则点C（m+1+t，a+m﹣3﹣2t），

又点C在抛物线上，

则：a+m﹣3﹣2t＝a（m+t+1﹣m）2+m﹣3，

解得：t＝0（舍去）或﹣，

∴S△ADC＝ADCB＝﹣；

②若△ADC的面积为1，则＝﹣＝1，

解得：a＝﹣；

∴抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣m）2+m﹣3；

当m＞2m+1时，即：m＜﹣1时，

﹣（2m+1﹣m）2+m﹣3＝﹣3，

整理得：4m2+3m+4＝0，

△＝b2﹣4ac＜0，故此方程无实数解；

当2m﹣1≤m≤2m+1时，即：﹣1≤m≤1，

则m﹣3＝﹣3，解得：m＝0；

当m＜2m﹣1时，即：m＞1，

﹣（2m﹣1﹣m）2+m﹣3＝﹣3，

整理并解得：m＝（舍去负值），

故：m的值为：0或．