Question

5．如图所示，∠ABC和∠ACB的平分线相交于F，过F作DE∥BC，交AB于D，交AC于E，求证：
（1）DB=DF；
（2）DB+EC=DE．

Answer 1

分析 （1）利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出∠DBF=∠DFB，那么利用等角对等边可得线段的相等；
（2）利用角平分线性质可得两组角相等，再结合平行线的性质，可证出∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，那么利用等角对等边可得线段的相等，再利用等量代换可证．

解答 证明：（1）∵BF是∠ABC的角平分线，
∴∠DBF=∠FBC，
又∵DE∥BC，
∴∠BFD=∠CBF，
∴∠DBF=∠DFB，
∴BD=DF；

（2）∵BF、CF是∠ABC、∠ACB的角平分线，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF．
又∵DE∥BC，
∴∠BFD=∠CBF，∠BCF=∠EFC．
∴∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC．
∴BD=DF，CE=EF．
∴DE=DF+EF=BD+CE．

点评 本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等．进行线段的等量代换是正确解答本题的关键．