Question

关于勾股定理，有很多证法，在我国它们都是用拼图形面积方法来证明的．下面的证法是欧几里得证法．如图所示．在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c²，a²，b²．
（1）叙述勾股定理并结合图形写出已知、求证；
（2）根据图中所添加的辅助线证明勾股定理．

Answer 1

考点：勾股定理的证明

专题：计算题

分析：（1）根据题意写出已知与求证即可；
（2）过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE，由∠GAC=∠BAE=90°，得到夹角相等，利用SAS得到三角形ABG与三角形ACE全等，得到三角形ACE与三角形AGB全等，利用三角形面积公式及正方形面积公式变形得到矩形AEML面积等于b²，同理得到矩形BDML面积等于a²，再利用正方形ABDE面积等于矩形AEML面积加上矩形BDML面积，即可得证．

解答：解：（1）已知：如图所示，在Rt△ABC的外侧，以各边为边长分别作正方形ABDE，BCHK，ACFG，它们的面积分别是c²，a²，b²，
求证：a²+b²=c²，
（2）证明：过C引CM∥BD，交AB于L，连接BG，CE，
∵∠GAC=∠BAE=90°，
∴∠GAC+∠CAB=∠BAE+∠CAB，即∠GAB=∠CAE，
在△ACE和△AGB中，

AE=AB ∠CAE=∠BAG AC=AG

，
∴△ACE≌△AGB（SAS），
∵S_△ACE=

1

2

AE•EM=

1

2

S_矩形AEML，S_△ABG=

1

2

AG•GF=

1

2

S_{正方形ACFG}=

1

2

b²，
∴S_矩形AEML=b²，
同理S_矩形BLMD=a²，
∴S_{正方形ABDE}=S_矩形AEML+S_矩形BLMD=a²+b²，
则a²+b²=c²．

点评：此题考查了勾股定理的证明，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．