Question

15．已知x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，且x⁵=a+b$\sqrt{5}$，这里a，b均为有理数，则a+b=-3．

Answer 1

分析 根据x的值计算出x²的值，将x⁵分解成x²•x²•x计算其值，根据题意可得a、b的值，进而可得答案．

解答 解：∵x=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，
∴x²=$\frac{（\sqrt{5}-1）^{2}}{4}=\frac{6-2\sqrt{5}}{4}=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，
∴x⁵=x²•x²•x=（$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$）²•$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$=-$\frac{19}{4}$+$\frac{7}{4}\sqrt{5}$，
又∵x⁵=a+b$\sqrt{5}$，且a，b均为有理数，
∴a=-$\frac{19}{4}$，b=$\frac{7}{4}$，
则a+b=-$\frac{19}{4}$+$\frac{7}{4}$=-3，
故答案为：-3．

点评 本题主要考查因式分解的应用能力，这里利用因式分解达到降幂目的是解题关键，对有理数性质得掌握是解题的根本．