Question

如图，若直线y=-x+16交x轴于点E，交y轴于点D，点A（m，m）在直线DE上，双曲线y=

k

x

与直线AO交于A、B两点．

（1）求k的值；
（2）过点B作BC⊥y轴，交DE于点C，若F（0，-16），连接AF交BC于点H，求证：OH+AH=OC；
（3）如果点Q为第二象限内一动点，且在运动过程中始终保持∠AQB=90°，若AQ交y轴于M，BQ交x轴于N，则下列结论：①AM²+BN²=MN²；②AM+BN=MN，其中只有一个是正确的，请判断正确结论并证明．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：综合题

分析：（1）根据一次函数与反比例函数的交点问题，先把点A（m，m）代入y=-x+16中求出m，则可得到A点坐标为（8，8），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征计算k的值；
（2）过C作CM⊥x轴于M，过A作AN⊥y轴于N，如图2，根据反比例函数的性质得点A与点B关于原点对称，则B点坐标为（-8，-8），则利用C点在直线y=-x+16上课确定C点的坐标为（24，-8），再利用B点和F点坐标可判断BC垂直平分OF，则HO=HF，所以OH+AH=HF+AH=AF，然后利用“SAS”证明△ANF≌△CMO，则AF=OC，于是得OH+AH=OC；
（3）截取OP=OM，连接BP、NP，如图3，先利用“SAS”证明△OAM≌△OBP，得到∠OAM=∠OBP，AM=BP，OM=OP，易得AQ∥BP，NO垂直平分MP，所以∠QBP=∠AQB=90°，MN=NP，然后在Rt△BNP中，根据三角形三边的关系可对②进行判断；根据勾股定理可对①进行判断．

解答：解：（1）∵点A（m，m）在直线y=-x+16上，
∴m=-m+16，解得m=8，
∴A点坐标为（8，8），
∵A（8，8）在函数y=

k

x

的图象上，
∴k=8×8=64，
∴反比例函数解析式为y=

16

x

；
（2）过C作CM⊥x轴于M，过A作AN⊥y轴于N，如图2，
∵双曲线y=

k

x

与直线AO交于A、B两点，
∴点A与点B关于原点对称，
∴B点坐标为（-8，-8），
∵BC⊥y轴，
∴C点的纵坐标为-8，
把y=-8代入y=-x+16得-x+16=-8，解得x=24，
∴C点的坐标为（24，-8），
∵B（-8，-8），F（0，-16），
∴BC垂直平分OF，
∴HO=HF，
∴OH+AH=HF+AH=AF，
∵FN=ON+OF=8+16=24，
∴OM=NF，
在△ANF和△CMO中，

AN=CM ∠ANF=∠CMO NF=MO

，
∴△ANF≌△CMO（SAS），
∴AF=OC，
∴OH+AH=OC；
（3）①正确．
截取OP=OM，连接BP、NP，如图3，
∵点A与点B关于原点对称，
∴OA=OB，
在△OAM和△OBP中，

OA=OB ∠AOM=∠BOP OM=OP

，
∴△OAM≌△OBP（SAS），
∴∠OAM=∠OBP，AM=BP，OM=OP，
∴AQ∥BP，NO垂直平分MP，
∴∠QBP=∠AQB=90°，MN=NP，
在Rt△BNP中，
∵BN+BP＞NP，
∴AM+BN＞MN，所以②错误；
∵BP²+BN²=NP²，
∴AM²+BN²=MN²，所以①正确．

点评：本题考查了反比例函数的综合题：熟练掌握反比例函数图象和一次函数图象上点的坐标特征、线段垂直平分线的性质和勾股定理；会运用三角形全等的知识解决线段相等和角相等的问题；理解坐标与图形性质．