Question

8．已知：点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，且OB=OC．
（1）如图1，若点O在边BC上，则AB=AC；（填＞、＜或=）
（2）如图2，若点O在△ABC的内部，则AB=AC；（填＞、＜或=），并证明；
（3）若点O在△ABC的外部，某同学猜测结论AB=AC，你认为这个结论正确吗？若正确，请证明；若不正确，请画出不正确时的图形（保留作图痕迹）．

Answer 1

分析 （1）通过证明△BOE≌△COF得到∠B=∠C，进而得出结论；
（2）通过证明△BOE≌△COF得到∠OBE=∠OCF，由于OB=OC，得到∠OBC=∠OCB，于是得到∠ABC=∠ACB，于是得的结论；
（3）过点O作OE、OF分别与AB、AC垂直于点E、F，连接OB、OC，首先证明△BOE≌△COF，得到∠ABO=∠ACO，由OB=OC根据等边对等角得∠OBC=∠OCB，进而得到∠ABC=∠ACB，从而得出结论：AB=AC．

解答 解：（1）证明：如图1，过点O作OE、OF分别与AB、AC垂直于点E、F，
∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
在Rt△BOE与Rt△COF中$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOE≌Rt△COF，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC；

（2）证明：如图2，过点O作OE、OF分别与AB、AC垂直于点E、F，
∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
在Rt△BOE与Rt△COF中$\left\{\begin{array}{l}{OE=OF}\\{OB=OC}\end{array}\right.$，
∴Rt△BOE≌Rt△COF，
∴∠OBE=∠OCF，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC；

（3）不一定成立，
如图3，证明：过点O作OE、OF分别与AB、AC垂直于点E、F，连接OB、OC，
∵点O到△ABC的两边AB、AC所在直线的距离相等，
∴OE=OF，
又∵OB=OC，
∴△BOE≌△COF（HL），
∴∠ABO=∠ACO，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB，
∴∠ABO-∠OBC=∠ACO-∠OCB，
∴∠ABC=∠ACB，
∴AB=AC，
如图4，此题不成立．

点评 本题考查了全等三角形的判定及其性质、等腰三角形的判定等知识；正确作出辅助线是解答本题的关键．