Question

18．设整数a，b，c（a≥b≥c）为三角形的三边长，满足a²+b²+c²-ab-ac-bc=13，求符合条件且周长不超过30的三角形的个数（　　）

• A． 8个
• B． 9个
• C． 10个
• D． 11个

Answer 1

分析 根据已知得出（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²=26①，令a-b=m，b-c=n，则a-c=m+n，代入可得出符合条件的m和n的值的组合，分别代入讨论，根据b+c＞a可得出c的最小范围，根据周长不超过30可得出c的最大值范围，进而可得出符合题意的三角形的个数．

解答 解：∵a²+b²+c²-ab-ac-bc=13，
∴（a-b）²+（b-c）²+（a-c）²=26 ①，
令a-b=m，b-c=n，则a-c=m+n，其中m，n均为自然数，
于是，等式①变为m²+n²+（m+n）²=26，即m²+n²+mn=13 ②
由于m，n均为自然数，判断易知，使得等式②成立的m，n只有两组：
$\left\{\begin{array}{l}{m=3}\\{n=1}\end{array}\right.$和$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=3}\end{array}\right.$
（1）当m=3，n=1时，b=c+1，a=b+3=c+4．
又a，b，c为三角形的三边长，所以b+c＞a，即（c+1）+c＞c+4，解得c＞3．
又因为三角形的周长不超过30，
即a+b+c=（c+4）+（c+1）+c≤30，
解得c≤$\frac{25}{3}$，因此3＜c≤$\frac{25}{3}$，
所以c可以取值4，5，6，7，8，对应可得到5个符合条件的三角形．
（2）当m=1，n=3时，b=c+3，a=b+1=c+4．又a，b，c为三角形的三边长，
所以b+c＞a，即（c+3）+c＞c+4，
解得c＞1．
又因为三角形的周长不超过30，
即a+b+c=（c+4）+（c+3）+c≤30，解得．
因此c≤$\frac{23}{3}$，因此1＜c≤$\frac{23}{3}$，
所以c可以取值2，3，4，5，6，7，对应可得到6个符合条件的三角形．
综合可知：符合条件且周长不超过30的三角形的个数为5+6=11．
故选：D．

点评 本题考查了因式分解的运用，三角形的三边关系，难度较大，解答本题首先是将a²+b²+c²-ab-ac-bc=13进行变形，根据a-b=m，b-c=n，a-c=m+n得出符合题意的m、n的值的组合是解答本题的关键．