Question

【题目】如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，AB=AC，BC= +1，点M，N分别是边BC，AB上的动点，沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′始终落在边AC上，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为 ．

Answer 1

【答案】 + 或1
【解析】解：①如图1，
当∠B′MC=90°，B′与A重合，M是BC的中点，
∴BM= BC= + ；
②如图2，

当∠MB′C=90°，
∵∠A=90°，AB=AC，
∴∠C=45°，
∴△CMB′是等腰直角三角形，
∴CM= MB′，
∵沿MN所在的直线折叠∠B，使点B的对应点B′，
∴BM=B′M，
∴CM= BM，
∵BC= +1，
∴CM+BM= BM+BM= +1，
∴BM=1，
综上所述，若△MB′C为直角三角形，则BM的长为 + 或1，
所以答案是： + 或1．
【考点精析】利用等腰直角三角形和翻折变换（折叠问题）对题目进行判断即可得到答案，需要熟知等腰直角三角形是两条直角边相等的直角三角形；等腰直角三角形的两个底角相等且等于45°；折叠是一种对称变换，它属于轴对称，对称轴是对应点的连线的垂直平分线，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和角相等．