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【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点B坐标为(4,6),点P为线段OA上一动点(与点O、A不重合),连接CP,过点PPECPAB于点D,且PE=PC,过点PPFOPPF=PO(点F在第一象限),连结FD、BE、BF,设OP=t.

(1)直接写出点E的坐标(用含t的代数式表示):_____

(2)四边形BFDE的面积记为S,当t为何值时,S有最小值,并求出最小值;

(3)BDF能否是等腰直角三角形,若能,求出t;若不能,说明理由.

【答案】(1)、(t+6,t);(2)、t=2时,S有最小值是16;(3)、理由见解析.

【解析】分析:(1)、过点EEGx轴于点G,根据题意得出CO=AB=6、OA=BC=4、OP=t,然后通过角之间的关系证明△PCO和△EPG全等,从而得出答案;(2)、根据DA∥EG得出△PAD和△PGE相似,求出AD的长度,然后根据四边形的面积等于△BDF的面积加上△BDE的面积得出函数解析式,从而求出面积的最值;(3)、根据∠FBD、∠FDB、∠BFD分别为直角,证明是否存在即可得出答案.

详解:(1)如图所示,过点EEGx轴于点G,则∠COP=PGE=90°,

由题意知CO=AB=6、OA=BC=4、OP=t,PECP、PFOP,

∴∠CPE=FPG=90°,即∠CPF+∠FPE=FPE+∠EPG,∴∠CPF=EPG,

又∵COOG、FPOG,COFP,∴∠CPF=PCO,∴∠PCO=EPG,

在△PCO和△EPG中,∵∠PCO=∠EPG,∠POC=∠EGP,PC=EP∴△PCO≌△EPG(AAS),

CO=PG=6、OP=EG=t,OG=OP+PG=6+t,则点E的坐标为(t+6,t),

(2)DAEG,∴△PAD∽△PGE,AD=t(4﹣t),

BD=AB﹣AD=6﹣t(4﹣t)=t2t+6,EGx轴、FPx轴,且EG=FP,

∴四边形EGPF为矩形,∴EFBD,EF=PG,

S四边形BEDF=SBDF+SBDE=×BD×EF=×t2t+6)×6=(t﹣2)2+16,

∴当t=2时,S有最小值是16;

(3)①假设∠FBD为直角,则点F在直线BC上∵PF=OPAB,

∴点F不可能在BC上,即∠FBD不可能为直角;

②假设∠FDB为直角,则点FEF上,∵点D在矩形的对角线PE上,

∴点D不可能在EF上,即∠FDB不可能为直角;

③假设∠BFD为直角且FB=FD,则∠FBD=FDB=45°如图2,作FHBD于点H,

FH=PA,即4﹣t=6﹣t,方程无解,

∴假设不成立,即△BDF不可能是等腰直角三角形.

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1)①直线与直线 表示到海岸的距离与追赶时间之间的关系;

比较 速度快;

③如果一直追下去,那么________ ( “能”或“不能")追上

④可疑船只速度是 海里/分,快艇的速度是 海里/分;

2对应的两个一次函数表达式的实际意义各是什么?并直接写出两个具体表达式.

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