【题目】如图,在平面直角坐标系中,矩形OABC的顶点B坐标为(4,6),点P为线段OA上一动点(与点O、A不重合),连接CP,过点P作PE⊥CP交AB于点D,且PE=PC,过点P作PF⊥OP且PF=PO(点F在第一象限),连结FD、BE、BF,设OP=t.
(1)直接写出点E的坐标(用含t的代数式表示):_____;
(2)四边形BFDE的面积记为S,当t为何值时,S有最小值,并求出最小值;
(3)△BDF能否是等腰直角三角形,若能,求出t;若不能,说明理由.
【答案】(1)、(t+6,t);(2)、当t=2时,S有最小值是16;(3)、理由见解析.
【解析】分析:(1)、过点E作EG⊥x轴于点G,根据题意得出CO=AB=6、OA=BC=4、OP=t,然后通过角之间的关系证明△PCO和△EPG全等,从而得出答案;(2)、根据DA∥EG得出△PAD和△PGE相似,求出AD的长度,然后根据四边形的面积等于△BDF的面积加上△BDE的面积得出函数解析式,从而求出面积的最值;(3)、根据∠FBD、∠FDB、∠BFD分别为直角,证明是否存在即可得出答案.
详解:(1)如图所示,过点E作EG⊥x轴于点G,则∠COP=∠PGE=90°,
由题意知CO=AB=6、OA=BC=4、OP=t,∵PE⊥CP、PF⊥OP,
∴∠CPE=∠FPG=90°,即∠CPF+∠FPE=∠FPE+∠EPG,∴∠CPF=∠EPG,
又∵CO⊥OG、FP⊥OG,∴CO∥FP,∴∠CPF=∠PCO,∴∠PCO=∠EPG,
在△PCO和△EPG中,∵∠PCO=∠EPG,∠POC=∠EGP,PC=EP,∴△PCO≌△EPG(AAS),
∴CO=PG=6、OP=EG=t,则OG=OP+PG=6+t,则点E的坐标为(t+6,t),
(2)∵DA∥EG,∴△PAD∽△PGE,∴,∴,∴AD=t(4﹣t),
∴BD=AB﹣AD=6﹣t(4﹣t)=t2﹣t+6,∵EG⊥x轴、FP⊥x轴,且EG=FP,
∴四边形EGPF为矩形,∴EF⊥BD,EF=PG,
∴S四边形BEDF=S△BDF+S△BDE=×BD×EF=×(t2﹣t+6)×6=(t﹣2)2+16,
∴当t=2时,S有最小值是16;
(3)①假设∠FBD为直角,则点F在直线BC上∵PF=OP<AB,
∴点F不可能在BC上,即∠FBD不可能为直角;
②假设∠FDB为直角,则点F在EF上,∵点D在矩形的对角线PE上,
∴点D不可能在EF上,即∠FDB不可能为直角;
③假设∠BFD为直角且FB=FD,则∠FBD=∠FDB=45°如图2,作FH⊥BD于点H,
则FH=PA,即4﹣t=6﹣t,方程无解,
∴假设不成立,即△BDF不可能是等腰直角三角形.
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【题目】如图所示,将矩形ABCD的四个角向内折起,恰好拼成一个既无缝隙又无重叠的四边形EFGH,若EH=3,EF=4,那么线段AD与AB的比等于( )
A. 25:24 B. 16:15 C. 5:4 D. 4:3
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【题目】如图,直线 的解析式为,直线 的解析式为,为上的一点,且点的坐标为作直线 轴,交直线于 点,再作于点,交直线 于点,作轴,交直线于点,再作 于点,作轴,交直线于点....按此作法继续作下去,则 的坐标为_____,的坐标为______
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【题目】为了提高服务质量,某宾馆决定对甲、乙两种套房进行星级提升,已知甲种套房提升费用比乙种套房提升费用少3万元,如果提升相同数量的套房,甲种套房费用为625万元,乙种套房费用为700万元.
(1)甲、乙两种套房每套提升费用各多少万元?
(2)如果需要甲、乙两种套房共80套,市政府筹资金不少于2090万元,但不超过2096万元,且所筹资金全部用于甲、乙种套房星级提升,市政府对两种套房的提升有几种方案?哪一种方案的提升费用最少?
(3)在(2)的条件下,根据市场调查,每套乙种套房的提升费用不会改变,每套甲种套房提升费用将会提高a万元(a>0),市政府如何确定方案才能使费用最少?
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【题目】如图,已知网格上最小的正方形的边长为(长度单位),点在格点上.
(1)直接在平面直角坐标系中作出关于轴对称的图形(点对应点,点对应点);
(2)的面积为 (面积单位)(直接填空);
(3)点到直线的距离为 (长度单位)(直接填空);
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【题目】我国边防局接到情报,近海处有一可疑船只正向公海方向行驶,边防部迅速派出快艇追赶(如图1) .图2中分别表示两船相对于海岸的距离 (海里)与追赶时间(分)之间的关系.根据图象问答问题:
(1)①直线与直线中 表示到海岸的距离与追赶时间之间的关系;
②与比较 速度快;
③如果一直追下去,那么________ (填 “能”或“不能")追上;
④可疑船只速度是 海里/分,快艇的速度是 海里/分;
(2)与对应的两个一次函数表达式与中的实际意义各是什么?并直接写出两个具体表达式.
(3)分钟内能否追上?为什么?
(4)当逃离海岸海里的公海时,将无法对其进行检查,照此速度,能否在逃入公海前将其拦截?为什么?
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【题目】如图1,在中,,点为边上一点,连接BD,点为上一点,连接,,过点作,垂足为,交于点.
(1)求证:;
(2)如图2,若,点为的中点,求证:;
(3)在(2)的条件下,如图3,若,求线段的长.
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【题目】某科技小组进行野外考察,途中遇到一片十几米宽的泥地,他们沿着前进路线铺了若干块木板,构成一条临时近道,木板对地面的压强p(Pa)是木板面积S(m2)的反比例函数,其图象如图所示.
(1)写出这一函数的关系式和自变量的取值范围.
(2)当木板面积为0.2m2时,压强是多少?
(3)如果要求压强不超过6000Pa,那么木板的面积至少为多少?
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【题目】如图,中,,的平分线与边的垂直平分线相交于点,交的延长线于点,于点,现有下列结论:①;②;③平分;④,其中正确的是( )
A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④
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