【题目】在平面直角坐标系中,二次函数的图象交坐标轴于 A(﹣1,0),B(4,0),C
(0,﹣4)三点,点 P 是直线 BC 下方抛物线上一动点.
(1) 求这个二次函数的解析式;
(2) 是否存在点 P,使△POC 是以 OC 为底边的等腰三角形?若存在,求出 P 点坐标;若不存在,请说明理由;
(3) 在抛物线上是否存在点 D(与点 A 不重合)使得 S△DBC=S△ABC,若存在,求出点 D的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4;(2)存在满足条件的P点,其坐标为(,﹣2);(3)存在满足条件的D点,其坐标为(5,6).
【解析】
(1)由A、B、C三点的坐标,利用待定系数法可求得抛物线解析式;
(2)由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上,则可求得P点纵坐标,代入抛物线解析式可求得P点坐标;
(3)存在.分两种情况讨论,再利用待定系数法以及解方程组即可解决问题.
(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c,
把A、B、C三点坐标代入可得,解得
,
∴抛物线解析式为y=x2﹣3x﹣4;
(2)如图1,作OC的垂直平分线DP,交OC于点D,交BC下方抛物线于点P,
∴PO=PC,此时P点即为满足条件的点,
∵C(0,﹣4),
∴D(0,﹣2),
∴P点纵坐标为﹣2,
代入抛物线解析式可得x2﹣3x﹣4=﹣2,解得x=(小于0,舍去)或x=
,
∴存在满足条件的P点,其坐标为(,﹣2);
(3)如图2,
①当D点在直线BC的上方时,过A点作AD1∥BC,交抛物线于D1,此时,使得S△DBC=S△ABC,
∵B(4,0),C(0,﹣4),
∴直线BC的解析式为y=x﹣4,
∵AD1∥BC,
∴设直线AD11的解析式为y=x+n,
把A(﹣1,0)代入得,0=﹣1+n,则n=1,
∴直线AD1的解析式为y=x+1,
解得
或
,
∴D1的坐标为(5,6),
②当D点在直线BC的下方时,
由直线AD1的解析式为y=x+1可知直线AD1和y轴的交点E的坐标为(0, 1),
∴CE=5,
∴直线AD的解析式为y=x﹣10,
∵方程x2﹣3x﹣4=x﹣10无实数根,
故存在满足条件的D点,其坐标为(5,6).
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【题目】寒假丽丽用一块边长为10的正方形彩纸为她的人偶玩具做了一件披风,如图所示,先将正方形纸片对折,展平后得到中线
,再分别沿折痕
,
将点
,点
都折到
上点
处,此时领口
的长为( )
A.B.
C.3D.
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【题目】如图,两张宽度相等的纸条叠放在一起,重叠部分构成四边形ABCD.
(1)求证:四边形ABCD是菱形;
(2)若纸条宽3cm,∠ABC=60°,求四边形ABCD的面积.
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【题目】“五一”期间,小明一家乘坐高铁前往某市旅游,计划第二天租用新能源汽车自驾出游。
[来
根据以上信息,解答下列问题:
(1)设租车时间为小时,租用甲公司的车所需费用为
元,租用乙公司的车所需费用为
元,分别求出
,
关于
的函数表达式;
(2)请你帮助小明计算并选择哪个出游方案合算。
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【题目】如图,Rt△ABO的两直角边OA、OB分别在x轴的负半轴和y轴的正半轴上,O为坐标原点,A、B两点的坐标分别为(﹣3,0)、(0,4),抛物线y=x2+bx+c经过B点,且顶点在直线y=
上.
(1)求抛物线对应的函数关系式;
(2)若△DCE是由△ABO沿x轴向右平移得到的,当四边形ABCD是菱形时,试判断点C和点D是否在该抛物线上,并说明理由.
(3)在(2)的条件下,若M点是CD所在直线下方该抛物线上的一个动点,过点M作MN平行于y轴交CD于点N.设点M的横坐标为t,MN的长度为s,求s与t之间的函数关系式,写出自变量t的取值范围,并求s取大值时,点M的坐标.
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【题目】在直角坐标系中,O为坐标原点,A(1,1),在x轴上确定点P,使△AOP为等腰三角形,则符合条件的点P的个数共有( )
A.4个B.3个C.2个D.1个
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【题目】已知,抛物线y=ax2+2ax+c与y轴交于点C,与x轴交于A,B两点,点A在点B左侧.点B的坐标为(1,0),OC=3OB.
(1)求抛物线的解析式;
(2)当a>0时,如图所示,若点D是第三象限方抛物线上的动点,设点D的横坐标为m,三角形ADC的面积为S,求出S与m的函数关系式,并直接写出自变量m的取值范围;请问当m为何值时,S有最大值?最大值是多少.
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【题目】在平面直角坐标系中,直线y=﹣x+2与x轴交于点B,与y轴交于点C,二次函数y=﹣
+bx+c的图象经过B,C两点,且与x轴的负半轴交于点A.
(1)求二次函数的表达式;
(2)如图1,点D是抛物线第四象限上的一动点,连接DC,DB,当S△DCB=S△ABC时,求点D坐标;
(3)如图2,在(2)的条件下,点Q在CA的延长线上,连接DQ,AD,过点Q作QP∥y轴,交抛物线于P,若∠AQD=∠ACO+∠ADC,请求出PQ的长.
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【题目】如图,在Rt△ABC中,∠A=90°,O是BC边上一点,以O为圆心的半圆与AB边相切于点D,与AC、BC边分别交于点E、F、G,连接OD,已知BD=2,AE=3,tan∠BOD=.
(1)求⊙O的半径OD;
(2)求证:AE是⊙O的切线;
(3)求图中两部分阴影面积的和.
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